РК1›Тема 5. Ориентация, векторное произведение

5. Ориентация, векторное произведение

лекции: §5 · вопросы РК: А13, А14, А15, А16, А17, Б5

РК: А13 (правая и левая тройка), А14 (векторное произведение), А15 (антисимметричность — вторая половина), А16 (линейность), А17 (вычисление в правом ОНБ), Б5 (вывод формулы).

Суть

Векторное произведение даёт вектор, перпендикулярный обоим сомножителям, длиной в площадь параллелограмма на них. Направление выбирается по правилу правой тройки, поэтому от перестановки множителей знак меняется. В задачах это главный инструмент: нормаль плоскости по двум векторам, направляющий вектор линии пересечения плоскостей, расстояния.

Ориентация (А13)

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (a⃗,b⃗,c⃗)(\vec a,\vec b,\vec c), отложенных от одной точки, называется правой, если из конца третьего вектора c⃗\vec c кратчайший поворот от a⃗\vec a к b⃗\vec b виден против часовой стрелки; если по часовой — левой.

abcправая: из конца c поворотa → b против часовойabcлевая: поворот a → bпо часовой
  • Циклическая перестановка (a⃗,b⃗,c⃗)→(b⃗,c⃗,a⃗)(\vec a,\vec b,\vec c)\to(\vec b,\vec c,\vec a) ориентацию сохраняет; перестановка двух векторов меняет её на противоположную.
  • Базис (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec i,\vec j,\vec k) при обычном выборе осей правый.

Определение (А14, опр. 5.1 лекций)

Векторным произведением неколлинеарных векторов a⃗\vec a и b⃗\vec b называется вектор c⃗=a⃗×b⃗\vec c=\vec a\times\vec b такой, что

  1. c⃗⊥a⃗\vec c\perp\vec a и c⃗⊥b⃗\vec c\perp\vec b;
  2. ∣c⃗∣=∣a⃗∣ ∣b⃗∣sin⁡φ|\vec c|=|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi — площадь параллелограмма, построенного на a⃗\vec a и b⃗\vec b;
  3. тройка (a⃗,b⃗,c⃗)(\vec a,\vec b,\vec c) правая.

Для коллинеарных векторов (в том числе если один нулевой) a⃗×b⃗=0⃗\vec a\times\vec b=\vec 0.

abc = a × bS = |a × b| = |a||b| sin φ

В конспекте определение дано только для неколлинеарных векторов, а случай a⃗∥b⃗\vec a\parallel\vec b не оговорён. Без него не работают ни формула через определитель, ни признак коллинеарности a⃗×b⃗=0⃗\vec a\times\vec b=\vec 0. На РК добавь фразу: «если a⃗∥b⃗\vec a\parallel\vec b, то a⃗×b⃗=0⃗\vec a\times\vec b=\vec 0».

Свойства

  1. Антисимметричность (А15): a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a (при перестановке тройка (b⃗,a⃗,c⃗)(\vec b,\vec a,\vec c) стала бы левой). В частности, a⃗×a⃗=0⃗\vec a\times\vec a=\vec 0.
  2. Линейность (А16): (a⃗1+a⃗2)×b⃗=a⃗1×b⃗+a⃗2×b⃗(\vec a_1+\vec a_2)\times\vec b=\vec a_1\times\vec b+\vec a_2\times\vec b;  (λa⃗)×b⃗=λ(a⃗×b⃗)\ (\lambda\vec a)\times\vec b=\lambda(\vec a\times\vec b). По второму аргументу — через антисимметричность.
  3. Коллинеарность (геометрическое свойство 2 в лекциях): два ненулевых вектора коллинеарны   ⟺  a⃗×b⃗=0⃗\iff\vec a\times\vec b=\vec 0.
  4. Площадь (геометрическое свойство 1): ∣a⃗×b⃗∣=S|\vec a\times\vec b|=S параллелограмма, построенного на a⃗\vec a и b⃗\vec b.
  5. Не ассоциативно [не из конспекта]: (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗(\vec i\times\vec i)\times\vec j=\vec 0, а i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗=−j⃗\vec i\times(\vec i\times\vec j)=\vec i\times\vec k=-\vec j.

Таблица для правого ОНБ:
i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗, …,i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗.\vec i\times\vec j=\vec k,\quad \vec j\times\vec k=\vec i,\quad \vec k\times\vec i=\vec j,\qquad \vec j\times\vec i=-\vec k,\ \dots,\qquad \vec i\times\vec i=\vec j\times\vec j=\vec k\times\vec k=\vec 0.
Запоминание: по циклу i→j→k→ii\to j\to k\to i плюс, против цикла минус.

Вычисление в правом ОНБ (А17)

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗xayazaxbybzb∣=i⃗ (yazb−zayb)−j⃗ (xazb−zaxb)+k⃗ (xayb−yaxb).\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}=\vec i\,(y_az_b-z_ay_b)-\vec j\,(x_az_b-z_ax_b)+\vec k\,(x_ay_b-y_ax_b).

Вывод (Б5)

Раскладываем a⃗=xai⃗+yaj⃗+zak⃗\vec a=x_a\vec i+y_a\vec j+z_a\vec k, b⃗=xbi⃗+ybj⃗+zbk⃗\vec b=x_b\vec i+y_b\vec j+z_b\vec k и раскрываем по линейности, пользуясь таблицей: слагаемые с i⃗×i⃗\vec i\times\vec i и т. п. исчезают, остаются шесть:
a⃗×b⃗=xayb k⃗−xazb j⃗−yaxb k⃗+yazb i⃗+zaxb j⃗−zayb i⃗\vec a\times\vec b=x_ay_b\,\vec k-x_az_b\,\vec j-y_ax_b\,\vec k+y_az_b\,\vec i+z_ax_b\,\vec j-z_ay_b\,\vec i
=(yazb−zayb)i⃗−(xazb−zaxb)j⃗+(xayb−yaxb)k⃗.=(y_az_b-z_ay_b)\vec i-(x_az_b-z_ax_b)\vec j+(x_ay_b-y_ax_b)\vec k.
Это в точности разложение определителя по первой строке. ■\blacksquare

Рабочие формулы

ЗадачаФормула
площадь параллелограмма на a⃗,b⃗\vec a,\vec bS=∣a⃗×b⃗∣S=|\vec a\times\vec b|
площадь треугольника ABCABCS=12∣AB→×AC→∣S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|
вектор, перпендикулярный a⃗\vec a и b⃗\vec ba⃗×b⃗\vec a\times\vec b
нормаль плоскости по двум направлениям u⃗,v⃗\vec u,\vec vn⃗=u⃗×v⃗\vec n=\vec u\times\vec v
направление прямой {A1x+⋯=0, A2x+⋯=0}\{A_1x+\dots=0,\ A_2x+\dots=0\}s⃗=n⃗1×n⃗2\vec s=\vec n_1\times\vec n_2
синус углаsin⁡φ=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣∣b⃗∣\sin\varphi=\dfrac{|\vec a\times\vec b|}{|\vec a||\vec b|}

Пример. Площадь треугольника A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0), C(0,0,3)C(0,0,3).

Решение

AB→={−1,2,0}\overrightarrow{AB}=\{-1,2,0\}, AC→={−1,0,3}\overrightarrow{AC}=\{-1,0,3\}.
AB→×AC→=∣i⃗j⃗k⃗−120−103∣={6, 3, 2},∣⋅∣=36+9+4=7.\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&2&0\\-1&0&3\end{vmatrix}=\{6,\,3,\,2\},\qquad |\cdot|=\sqrt{36+9+4}=7.
Ответ: S=72S=\frac72.

Типичные ошибки

  • Потерять минус у среднего слагаемого (j⃗\vec j) при раскрытии определителя.
  • Переставить строки a⃗\vec a и b⃗\vec b в определителе: результат сменит знак.
  • Применять формулу через определитель в левом базисе или в неортонормированном: она верна только в правом ОНБ.