6. Смешанное и двойное векторное произведение

лекции: §6 · вопросы РК: А18, А19, А20, А21, Б6, Б7, В3, Г4

Прочитано

РК: А18 (определение), А19 (перестановки), А20 (линейность), А21 (вычисление в правом ОНБ), Б6 (доказательство линейности), Б7 (вывод формулы); часть В.3 (двойное векторное произведение); дополнение из лекций: Г4 (геометрический смысл и критерий компланарности).

Суть

Смешанное произведение $\vec a\vec b\vec c$ — число, по модулю равное объёму параллелепипеда на трёх векторах, со знаком « $+$ » для правой тройки и « $-$ » для левой. Нуль означает компланарность. В координатах это определитель из координат векторов.

Определение (А18, опр. 6.1 лекций)

$\vec a\vec b\vec c=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c.$
Другие обозначения: $(\vec a,\vec b,\vec c)$ , $\langle[\vec a;\vec b];\vec c\rangle$ .

Геометрический смысл (лекции, геометрическое свойство 1): $|\vec a\times\vec b|$ — площадь основания, $\operatorname{Пр}_{\vec a\times\vec b}\vec c$ — высота со знаком, поэтому
$\vec a\vec b\vec c=\pm V_{\text{пар}},\qquad V_{\text{пир}}=\tfrac16|\vec a\vec b\vec c|.$
Знак $+$ , если тройка $(\vec a,\vec b,\vec c)$ правая, $-$ если левая, $0$ если векторы компланарны.

Свойства

Перестановки (А19). Циклическая перестановка не меняет значения, перестановка двух сомножителей меняет знак:
$\vec a\vec b\vec c=\vec b\vec c\vec a=\vec c\vec a\vec b=-\vec b\vec a\vec c=-\vec c\vec b\vec a=-\vec a\vec c\vec b.$
Следствие: $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ — крестик и точку можно менять местами.

Линейность (А20) по каждому аргументу:
$(\vec a_1+\vec a_2)\vec b\vec c=\vec a_1\vec b\vec c+\vec a_2\vec b\vec c,\qquad (\lambda\vec a)\vec b\vec c=\lambda(\vec a\vec b\vec c).$

Доказательство линейности (Б6)

По определению и линейности векторного, затем скалярного произведения:

$(\vec a_1+\vec a_2)\vec b\vec c=\bigl((\vec a_1+\vec a_2)\times\vec b\bigr)\cdot\vec c=(\vec a_1\times\vec b+\vec a_2\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec a_1\times\vec b)\cdot\vec c+(\vec a_2\times\vec b)\cdot\vec c=\vec a_1\vec b\vec c+\vec a_2\vec b\vec c.$
$(\lambda\vec a)\vec b\vec c=\bigl((\lambda\vec a)\times\vec b\bigr)\cdot\vec c=\bigl(\lambda(\vec a\times\vec b)\bigr)\cdot\vec c=\lambda\bigl((\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\bigr)=\lambda(\vec a\vec b\vec c).$

По остальным аргументам — через правило перестановок. $\blacksquare$

Другой способ (в лекциях предложено доказать самостоятельно): по формуле-определителю (А21) координаты $\vec a$ стоят в первой строке, а определитель линеен по строке: $\begin{vmatrix}ka_1&ka_2&ka_3\\\dots\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\\dots\end{vmatrix}$ , и определитель с суммой строк равен сумме определителей.

Доказательство свойства объёма (лекции)

Если тройка некомпланарна, $\vec a\times\vec b\ne\vec 0$ и
$\vec a\vec b\vec c=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=|\vec a\times\vec b|\cdot\operatorname{Пр}_{\vec a\times\vec b}\vec c=S\cdot(\pm h)=\pm V.$
$S$ — площадь параллелограмма на $\vec a,\vec b$ (основание), $h$ — высота параллелепипеда. Проекция положительна, когда $\vec c$ и $\vec a\times\vec b$ лежат по одну сторону от плоскости $\vec a,\vec b$ , то есть когда тройка $(\vec a,\vec b,\vec c)$ правая. $\blacksquare$

Критерий компланарности (теорема 6.1 лекций): $\vec a,\vec b,\vec c$ компланарны $\iff\vec a\vec b\vec c=0$ .

Доказательство

$\Rightarrow$ Если $\vec a\parallel\vec b$ , то $\vec a\times\vec b=\vec 0$ и произведение равно нулю. Иначе $\vec a\times\vec b$ перпендикулярен плоскости $\vec a,\vec b$ , а $\vec c$ лежит в ней, поэтому $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0$ .
$\Leftarrow$ Если $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0$ , то либо $\vec a\times\vec b=\vec 0$ — тогда $\vec a\parallel\vec b$ и тройка компланарна; либо $\vec c\perp\vec a\times\vec b$ , то есть $\vec c$ параллелен плоскости $\vec a,\vec b$ . $\blacksquare$

Вычисление в правом ОНБ (А21, теорема 6.2 лекций)

$\vec a\vec b\vec c=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}.$

Вывод (Б7)

$\vec a\vec b\vec c=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$ . Координаты $\vec a\times\vec b$ (тема 5):
$\{\,y_az_b-z_ay_b,\ -(x_az_b-z_ax_b),\ x_ay_b-y_ax_b\,\}.$
Скалярно умножаем на $\vec c=\{x_c,y_c,z_c\}$ (тема 4):
$x_c(y_az_b-z_ay_b)-y_c(x_az_b-z_ax_b)+z_c(x_ay_b-y_ax_b).$
Это разложение определителя $3\times3$ по третьей строке $(x_c,y_c,z_c)$ . $\blacksquare$

Двойное векторное произведение (В.3)

$\vec u\times(\vec v\times\vec w)=\vec v\,(\vec u\cdot\vec w)-\vec w\,(\vec u\cdot\vec v)\qquad(\text{«бац минус цаб»}).$
Мнемоника: средний вектор умножается на скалярное произведение крайних, минус третий — на скалярное произведение первых двух. Результат лежит в плоскости $\vec v,\vec w$ .

Тождество Якоби: $\vec u\times(\vec v\times\vec w)+\vec v\times(\vec w\times\vec u)+\vec w\times(\vec u\times\vec v)=\vec 0$ .

Формулу «бац минус цаб» оба присланных файла называют тождеством Лагранжа. Во многих учебниках тождеством Лагранжа называют другое: $|\vec a\times\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$ . На РК используй название лектора, но если спросят про Лагранжа без формулы — уточни, о какой из двух речь.

Рабочие формулы

Задача	Формула
объём параллелепипеда	$V=\|\vec a\vec b\vec c\|$
объём тетраэдра $ABCD$	$V=\frac16\|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}\|$
высота тетраэдра из $D$	$h=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}\|}{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}$
четыре точки в одной плоскости	$\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}=0$
ориентация тройки	знак $\vec a\vec b\vec c$

Пример. Объём тетраэдра $A(0,0,0)$ , $B(2,0,0)$ , $C(0,3,0)$ , $D(1,1,4)$ .

Решение

$\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\1&1&4\end{vmatrix}=2\cdot3\cdot4=24,\qquad V=\frac{24}6=4.$

Типичные ошибки

Забыть множитель $\frac16$ для тетраэдра (пирамиды с треугольным основанием).
Брать объём со знаком: объём — это модуль смешанного произведения.
В «бац минус цаб» перепутать, какой вектор стоит снаружи: $\vec u\times(\vec v\times\vec w)$ лежит в плоскости внутренних $\vec v,\vec w$ .

Прочитано