РК1›Задача на плоскости и прямые: с чего начать

Задача на плоскости и прямые: с чего начать

Сводка приёмов для задач 416–466. Почти любая задача сводится к двум вопросам: какая точка и какой вектор (нормаль плоскости или направление прямой). Ниже — где их брать.

1. Как получить нужный вектор

ДаноНормаль плоскости n⃗\vec n / направление прямой s⃗\vec s
плоскость Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0n⃗={A,B,C}\vec n=\{A,B,C\}
прямая x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}ns⃗={l,m,n}\vec s=\{l,m,n\}
прямая как пересечение плоскостейs⃗=n⃗1×n⃗2\vec s=\vec n_1\times\vec n_2
плоскость параметрически M0+ua⃗+vb⃗M_0+u\vec a+v\vec bn⃗=a⃗×b⃗\vec n=\vec a\times\vec b
плоскость ⊥ прямойn⃗=s⃗\vec n=\vec s
плоскость ⊥ двум плоскостямn⃗=n⃗1×n⃗2\vec n=\vec n_1\times\vec n_2
плоскость через две точки A,BA,B и ⊥ плоскости n⃗1\vec n_1n⃗=AB→×n⃗1\vec n=\overrightarrow{AB}\times\vec n_1
плоскость через прямую (s⃗)(\vec s) ⊥ плоскости (n⃗1)(\vec n_1) (проектирующая)n⃗=s⃗×n⃗1\vec n=\vec s\times\vec n_1
плоскость через прямую (M0,s⃗)(M_0,\vec s) и точку M1M_1n⃗=s⃗×M0M1→\vec n=\vec s\times\overrightarrow{M_0M_1}
плоскость через три точкиn⃗=AB→×AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
общий перпендикуляр двух прямыхs⃗=s⃗1×s⃗2\vec s=\vec s_1\times\vec s_2

2. Типовые построения

Основание перпендикуляра из точки PP на плоскость Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0:
H=P−f(P)∣n⃗∣2 n⃗,f(P)=AxP+ByP+CzP+D.H=P-\frac{f(P)}{|\vec n|^2}\,\vec n,\qquad f(P)=Ax_P+By_P+Cz_P+D.

Основание перпендикуляра из PP на прямую M0+ts⃗M_0+t\vec s:
t∗=M0P→⋅s⃗∣s⃗∣2,H=M0+t∗s⃗.t^*=\frac{\overrightarrow{M_0P}\cdot\vec s}{|\vec s|^2},\qquad H=M_0+t^*\vec s.

Симметричная точка относительно плоскости или прямой: P′=2H−PP'=2H-P (основание HH — середина PP′PP').

PHP′nH — основаниеперпендикуляраP′ = 2H − P

Проекция прямой на плоскость: проектирующая плоскость (через прямую, нормаль s⃗×n⃗\vec s\times\vec n) в системе с данной плоскостью.

Точка пересечения прямой и плоскости: подставить параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найти tt. Сначала проверь s⃗⋅n⃗\vec s\cdot\vec n: если 00 — прямая параллельна плоскости или лежит в ней (тема 8, «Прямая и плоскость»).

Деление отрезка M1M2M_1M_2 в отношении p:qp:q: M=qM1+pM2p+qM=\dfrac{qM_1+pM_2}{p+q} (тема 3).

Минимум суммы расстояний ∣MA∣+∣MB∣|MA|+|MB|, MM на плоскости (задача 434): если A,BA,B по одну сторону (знаки f(A),f(B)f(A),f(B) одинаковы), отразить AA в A′A' и взять пересечение A′BA'B с плоскостью; если по разные — пересечение ABAB с плоскостью.

3. Расстояния и углы — какую формулу брать

ЧтоФормула
точка — плоскость∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
плоскость — параллельная плоскостьпривести к одинаковым A,B,CA,B,C; ∣D1−D2∣∣n⃗∣\dfrac{|D_1-D_2|}{|\vec n|}
точка — прямая∣M0M1→×s⃗∣∣s⃗∣\dfrac{|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s|}{|\vec s|}
точка — прямая на плоскости Ax+By+C=0Ax+By+C=0∣Ax0+By0+C∣A2+B2\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
прямая — прямая (скрещиваются)∣s⃗1s⃗2M1M2→∣∣s⃗1×s⃗2∣\dfrac{|\vec s_1\vec s_2\overrightarrow{M_1M_2}|}{|\vec s_1\times\vec s_2|}
прямая — прямая (параллельны)от точки одной до другой прямой
угол плоскостейcos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}
угол прямыхcos⁡φ=∣s⃗1⋅s⃗2∣∣s⃗1∣∣s⃗2∣\cos\varphi=\frac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1||\vec s_2|}
угол прямой и плоскостиsin⁡φ=∣s⃗⋅n⃗∣∣s⃗∣∣n⃗∣\sin\varphi=\frac{|\vec s\cdot\vec n|}{|\vec s||\vec n|}
угол прямых на плоскостиcos⁡φ=∣A1A2+B1B2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\varphi=\frac{|A_1A_2+B_1B_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} или tg⁡φ=∣k2−k11+k1k2∣\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|

4. Пучок, биссекторы, острый/тупой угол

  • «Плоскость через линию пересечения Π1,Π2\Pi_1,\Pi_2 и …» — пучок αΠ1+βΠ2=0\alpha\Pi_1+\beta\Pi_2=0, оставшееся условие даёт α:β\alpha:\beta. Не забудь проверить сами Π1\Pi_1 и Π2\Pi_2 (случай β=0\beta=0 или α=0\alpha=0).
  • Биссекторы: f1∣n⃗1∣=±f2∣n⃗2∣\dfrac{f_1}{|\vec n_1|}=\pm\dfrac{f_2}{|\vec n_2|}.
  • Точка MM в остром угле   ⟺  f1(M)f2(M)(n⃗1⋅n⃗2)<0\iff f_1(M)f_2(M)(\vec n_1\cdot\vec n_2)<0.
  • Биссектор угла, содержащего точку MM: знак в ±\pm выбрать так, чтобы f1(M)∣n⃗1∣\frac{f_1(M)}{|\vec n_1|} и ±f2(M)∣n⃗2∣\pm\frac{f_2(M)}{|\vec n_2|} были одного знака.

5. Проверка ответа (30 секунд, но спасает баллы)

  1. Подставь заданные точки в найденное уравнение — должны обнулять.
  2. Проверь перпендикулярность/параллельность через скалярное или векторное произведение.
  3. Расстояние не может быть отрицательным, косинус угла между плоскостями — больше 1.