8a. Прямая на плоскости

РК: в списке вопросов конспекта этой темы нет, но она есть в лекциях (§8–9), и задачи «найти точку пересечения прямых» стоят первыми в билетах 7, 9, 17. Дополнения из лекций: Г5–Г9. Везде, где не сказано иное, система координат прямоугольная.

Суть

На плоскости прямая задаётся одним линейным уравнением $Ax+By+C=0$. Коэффициенты читаются сразу: $\{A,B\}$ — нормальный вектор, $\{-B,A\}$ — направляющий. Остальные виды — с угловым коэффициентом, в отрезках, через две точки, нормальный — это то же уравнение, записанное по-другому. Расстояние от точки до прямой: подставить точку в уравнение и поделить на длину нормали.

Уравнения прямой

Через точку и направляющий вектор $\vec m=\{a,b\}$, $M_0(x_0,y_0)$ (лекции, задача 1, опр. 8.2–8.3):

• параметрические: $x=x_0+ka,\ \ y=y_0+kb,\ \ k\in\mathbb R$;
• каноническое: $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}$;
• через определитель: $\begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0\\a&b\end{vmatrix}=0$, то есть $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$;
• векторное (опр. 8.5): $\vec r=\vec r_0+k\vec m$.

Общее (опр. 8.4): раскрыв скобки в $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$, получаем
$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2\ne0,\qquad \vec m=\{-B,\,A\}.$$
В прямоугольной СК $\vec n=\{A,B\}$ — нормальный вектор (опр. 8.9: ненулевой вектор, перпендикулярный прямой).
Пример из лекции: $5x+4y-15=0$ — $\vec n=\{5,4\}$, $\vec m=\{-4,5\}$ (проверка: $5\cdot(-4)+4\cdot5=0$).

Через точку и нормальный вектор (задача 3, опр. 8.10): $\overrightarrow{M_0M}\perp\vec n$, поэтому
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.$$

С угловым коэффициентом (опр. 8.7): при $B\ne0$ выражаем $y$:
$$y=kx+b,\qquad k=-\frac AB,\qquad b=-\frac CB.$$
$k=\operatorname{tg}\varphi$, где $\varphi$ — угол наклона прямой к оси $Ox$; $b$ — ордината точки пересечения с $Oy$. Вертикальные прямые $x=c$ ($B=0$) так не записываются.

В отрезках (опр. 8.6): при $A,B,C\ne0$ делим на $-C$:
$$\frac xa+\frac yb=1,\qquad a=-\frac CA,\quad b=-\frac CB.$$
$a$ и $b$ — абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями.

Через две точки $M_1(x_1,y_1)$, $M_2(x_2,y_2)$ (задача 2, опр. 8.8): направляющий вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$, и задача сводится к первой:
$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\iff\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0.$$

Пример. $2x+3y-6=0$: $\vec n=\{2,3\}$, $\vec m=\{-3,2\}$; $y=-\frac23x+2$ ($k=-\frac23$, $b=2$); в отрезках $\frac x3+\frac y2=1$.

Нормальное уравнение (опр. 8.11; Г7)

$$x\cos\alpha+y\cos\beta-p=0,$$
где $\vec n^{\,0}=\{\cos\alpha,\cos\beta\}$ — единичная нормаль, направленная от начала координат к прямой ($\alpha,\beta$ — её углы с $\vec i$ и $\vec j$), а $p\ge0$ — расстояние от начала координат до прямой.

Почему $p$ — расстояние. Для любой точки $M$ прямой $\overrightarrow{OM}\cdot\vec n^{\,0}=|\overrightarrow{OM}|\cos\gamma=\operatorname{Пр}_{\vec n^0}\overrightarrow{OM}=p$: проекции радиус-векторов всех точек прямой на нормаль одинаковы, это и есть длина перпендикуляра из $O$.

Как получить из общего: умножить на нормирующий множитель
$$\mu=\pm\frac1{\sqrt{A^2+B^2}},\qquad\text{знак }\mu\text{ противоположен знаку }C.$$
Тогда $\cos\alpha=\mu A$, $\cos\beta=\mu B$, $p=-\mu C\ge0$.

Пример из лекции. $3x-4y+15=0$: $|\vec n|=\sqrt{9+16}=5$, $C=15>0$, значит $\mu=-\frac15$:
$$-\tfrac35x+\tfrac45y-3=0,\qquad p=3.$$

Расстояние от точки до прямой (§9; Г8)

$$\rho(M_0,l)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Пример. От $M_0(1;2)$ до $3x-4y+15=0$: $\rho=\frac{|3-8+15|}{5}=2$.

Две прямые на плоскости (Г9)

$l_1$: $A_1x+B_1y+C_1=0$, $l_2$: $A_2x+B_2y+C_2=0$; $\vec n_1=\{A_1,B_1\}$, $\vec n_2=\{A_2,B_2\}$.

Условие параллельности из лекции: $\vec n_1\parallel\vec n_2\iff A_1B_2-B_1A_2=0$ (здесь оно включает и совпадение).

Точка пересечения — решение системы $2\times2$ (например, по Крамеру; знаменатель — тот самый определитель $A_1B_2-A_2B_1$).

Пример (билет 9, задача 1). $3x-5y-13=0$ и $2x+7y-81=0$: определитель $3\cdot7-2\cdot(-5)=31\ne0$ — пересекаются. Из системы $x=16$, $y=7$.

Пример. Угол между $y=2x+1$ и $y=-3x+2$: $\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{-3-2}{1-6}\right|=1$, $\varphi=45^\circ$. Проверка через нормали $\{2,-1\}$ и $\{3,1\}$: $\cos\varphi=\frac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2}$.

Типичные ошибки

• Перепутать нормальный $\{A,B\}$ и направляющий $\{-B,A\}$ векторы. Проверка: их скалярное произведение равно нулю.
• Дописать к уравнению прямой через точку и нормаль слагаемое $C(z-z_0)$: в пространстве это уже уравнение плоскости.
• Взять нормирующий множитель того же знака, что $C$: тогда $p<0$. Знак $\mu$ противоположен знаку $C$.
• Забыть модуль в косинусе или тангенсе угла: угол между прямыми берут острым.
• Искать угловой коэффициент у вертикальной прямой $x=c$: его нет.
• Пользоваться $\vec n=\{A,B\}$ как нормалью в косоугольной (аффинной) СК: там верен только направляющий вектор $\{-B,A\}$.