РК1›Тема 8. Прямая в пространстве

8. Прямая в пространстве

лекции: §8, «Прямая в пространстве» · вопросы РК: А26, А27, А28, А29, А30, Б9, Б10, Г12

РК: А26 (канонические и параметрические уравнения), А27 (через две точки), А28 (две прямые в одной плоскости), А29 (расстояние от точки до прямой), А30 (между скрещивающимися), Б9, Б10 (выводы формул); дополнение из лекций: Г12 (прямая и плоскость). Прямая на плоскости — тема 8a. Задачи 425–432, 451–453, 460–466.

Суть

Прямая задаётся точкой M0M_0 и направляющим вектором s⃗≠0⃗\vec s\ne\vec 0: MM на прямой   ⟺  M0M→∥s⃗\iff\overrightarrow{M_0M}\parallel\vec s. Все формулы расстояний выводятся одним приёмом: строим параллелограмм или параллелепипед на известных векторах и считаем его площадь (объём) двумя способами.

M₀s = {l, m, n}MM₀M = t·s: x = x₀ + l t, …

Уравнения прямой

Направляющий вектор (лекции, опр. 8.1) — любой ненулевой вектор, коллинеарный прямой. У прямой их бесконечно много, все пропорциональны.

Векторное (опр. 8.5): r⃗=r⃗0+ts⃗\vec r=\vec r_0+t\vec s, где r⃗0=OM0→\vec r_0=\overrightarrow{OM_0} — радиус-вектор заданной точки, r⃗\vec r — радиус-вектор любой точки прямой.

Канонические (А26, опр. 8.3):
x−x0l=y−y0m=z−z0n,M0(x0,y0,z0)∈L,  s⃗={l,m,n}.\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},\qquad M_0(x_0,y_0,z_0)\in L,\ \ \vec s=\{l,m,n\}.
Нуль в знаменателе — не деление на ноль, а условие: например, x−10\frac{x-1}{0} означает x=1x=1 (задачи 453, 457).
Пример из лекции: x−12=y+25=z−72\frac{x-1}2=\frac{y+2}5=\frac{z-7}2 — точка M0(1;−2;7)M_0(1;-2;7), s⃗={2,5,2}\vec s=\{2,5,2\}.

Параметрические (А26, опр. 8.2): x=x0+lt,  y=y0+mt,  z=z0+nt,  t∈Rx=x_0+lt,\ \ y=y_0+mt,\ \ z=z_0+nt,\ \ t\in\mathbb R (векторно: M=M0+ts⃗M=M_0+t\vec s).

Через две точки (А27) M1,M2M_1,M_2: s⃗=M1M2→\vec s=\overrightarrow{M_1M_2},
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1.\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.

Общие уравнения — как пересечение двух плоскостей (лекции; задачи 419, 421, 429, 462–464):
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0s⃗=n⃗1×n⃗2.\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\qquad \vec s=\vec n_1\times\vec n_2.
Точку берут, подставив удобное значение одной переменной (например, z=0z=0) и решив систему 2×22\times2.

Две прямые

L1(M1,s⃗1)L_1(M_1,\vec s_1), L2(M2,s⃗2)L_2(M_2,\vec s_2).

В одной плоскости (А28) — пересекаются или параллельны —   ⟺  s⃗1,s⃗2,M1M2→\iff\vec s_1,\vec s_2,\overrightarrow{M_1M_2} компланарны:
s⃗1 s⃗2 M1M2→=0.\vec s_1\,\vec s_2\,\overrightarrow{M_1M_2}=0.

s₁s₂M₁M₂M₁M₂(s₁, s₂, M₁M₂) = 0
СлучайПризнак
скрещиваютсяs⃗1s⃗2M1M2→≠0\vec s_1\vec s_2\overrightarrow{M_1M_2}\ne0
пересекаютсясмешанное =0=0 и s⃗1∦s⃗2\vec s_1\nparallel\vec s_2
параллельныs⃗1∥s⃗2\vec s_1\parallel\vec s_2, M1M2→∦s⃗1\overrightarrow{M_1M_2}\nparallel\vec s_1
совпадаютs⃗1∥s⃗2∥M1M2→\vec s_1\parallel\vec s_2\parallel\overrightarrow{M_1M_2}
угол между прямымиcos⁡φ=∣s⃗1⋅s⃗2∣∣s⃗1∣∣s⃗2∣\cos\varphi=\dfrac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1||\vec s_2|}
угол прямой и плоскостиsin⁡φ=∣s⃗⋅n⃗∣∣s⃗∣∣n⃗∣\sin\varphi=\dfrac{|\vec s\cdot\vec n|}{|\vec s||\vec n|} (синус, не косинус)

Прямая и плоскость (лекции; Г12)

Прямая LL: точка M0M_0, направляющий вектор s⃗\vec s; плоскость π\pi: Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, n⃗={A,B,C}\vec n=\{A,B,C\}, f(M)=Ax+By+Cz+Df(M)=Ax+By+Cz+D.

РасположениеЧерез векторыЧерез систему уравнений
пересекаются в одной точкеs⃗⋅n⃗≠0\vec s\cdot\vec n\ne0единственное решение
параллельныs⃗⋅n⃗=0\vec s\cdot\vec n=0, f(M0)≠0f(M_0)\ne0решений нет
прямая лежит в плоскостиs⃗⋅n⃗=0\vec s\cdot\vec n=0, f(M0)=0f(M_0)=0бесконечно много решений
перпендикулярныs⃗∥n⃗\vec s\parallel\vec n—

Как в лекции. Прямая задана общими уравнениями {A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0}\{A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\}, плоскость — Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0. Составляем систему из трёх уравнений. Единственное решение (одна общая точка) будет, когда
∣A1B1C1A2B2C2ABC∣≠0.\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A&B&C\end{vmatrix}\ne0.
Если определитель равен нулю, решений либо нет (прямая параллельна плоскости), либо бесконечно много (лежит в ней). Это тот же признак: определитель — смешанное произведение n⃗1n⃗2n⃗=(n⃗1×n⃗2)⋅n⃗=s⃗⋅n⃗\vec n_1\vec n_2\vec n=(\vec n_1\times\vec n_2)\cdot\vec n=\vec s\cdot\vec n.

Точка пересечения: подставить параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найти tt.

Пример. LL: x−12=y+11=z−1\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac z{-1}.

  1. π1\pi_1: x+y+3z−2=0x+y+3z-2=0. s⃗⋅n⃗=2+1−3=0\vec s\cdot\vec n=2+1-3=0, f(M0)=1−1+0−2=−2≠0f(M_0)=1-1+0-2=-2\ne0 — прямая параллельна плоскости, расстояние 211\frac{2}{\sqrt{11}}.
  2. π2\pi_2: x+2y+z−5=0x+2y+z-5=0. s⃗⋅n⃗=2+2−1=3≠0\vec s\cdot\vec n=2+2-1=3\ne0 — пересекаются. (1+2t)+2(−1+t)+(−t)−5=3t−6=0(1+2t)+2(-1+t)+(-t)-5=3t-6=0, t=2t=2, точка (5;1;−2)(5;1;-2).

Расстояние от точки до прямой (А29)

ρ(M1,L)=∣M0M1→×s⃗∣∣s⃗∣.\rho(M_1,L)=\frac{|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s|}{|\vec s|}.

sM₀M₁h = ρM₀M₁S = |M₀M₁ × s| = |s|·h
Вывод (Б9)

Построим параллелограмм на векторах s⃗\vec s и M0M1→\overrightarrow{M_0M_1}, отложенных от M0M_0. Его площадь:

  1. через векторное произведение: S=∣M0M1→×s⃗∣S=|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s|;
  2. через основание и высоту: S=∣s⃗∣⋅hS=|\vec s|\cdot h, где hh — высота, опущенная из M1M_1 на прямую LL, то есть h=ρ(M1,L)h=\rho(M_1,L).

Приравниваем: ∣s⃗∣⋅ρ=∣M0M1→×s⃗∣|\vec s|\cdot\rho=|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s|. ■\blacksquare

Способ 2 — через скалярное произведение (проекцию). Разложим M0M1→\overrightarrow{M_0M_1} на часть вдоль прямой и часть, перпендикулярную ей:
p⃗=M0M1→⋅s⃗s⃗⋅s⃗ s⃗,h⃗=M0M1→−p⃗,ρ=∣h⃗∣,H=M0+p⃗.\vec p=\frac{\overrightarrow{M_0M_1}\cdot\vec s}{\vec s\cdot\vec s}\,\vec s,\qquad \vec h=\overrightarrow{M_0M_1}-\vec p,\qquad \rho=|\vec h|,\qquad H=M_0+\vec p.
p⃗\vec p — векторная проекция на направление прямой, h⃗\vec h — перпендикуляр от прямой к точке, HH — его основание. Проверка перпендикулярности: h⃗⋅s⃗=M0M1→⋅s⃗−M0M1→⋅s⃗s⃗⋅s⃗(s⃗⋅s⃗)=0\vec h\cdot\vec s=\overrightarrow{M_0M_1}\cdot\vec s-\frac{\overrightarrow{M_0M_1}\cdot\vec s}{\vec s\cdot\vec s}(\vec s\cdot\vec s)=0.
Если нужно только число, хватит теоремы Пифагора: ρ2=∣M0M1→∣2−(M0M1→⋅s⃗)2∣s⃗∣2\rho^2=|\overrightarrow{M_0M_1}|^2-\dfrac{(\overrightarrow{M_0M_1}\cdot\vec s)^2}{|\vec s|^2}.

Когда что брать: векторное произведение — короче, если нужно только расстояние (и так формулу пишут на РК); проекция — когда нужна ещё точка HH (основание перпендикуляра, симметричная точка P′=2H−PP'=2H-P) или задача на плоскости, где векторного произведения нет.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (А30)

ρ(L1,L2)=∣s⃗1 s⃗2 M1M2→∣∣s⃗1×s⃗2∣.\rho(L_1,L_2)=\frac{|\vec s_1\,\vec s_2\,\overrightarrow{M_1M_2}|}{|\vec s_1\times\vec s_2|}.

L₁ L₂s₁s₂M₁M₂ ρM₁M₂V = |s₁ s₂ M₁M₂| = |s₁ × s₂|·ρ
Вывод (Б10)

Прямые скрещиваются, поэтому s⃗1,s⃗2,M1M2→\vec s_1,\vec s_2,\overrightarrow{M_1M_2} некомпланарны. Построим на них параллелепипед. Его объём:

  1. через смешанное произведение: V=∣s⃗1s⃗2M1M2→∣V=|\vec s_1\vec s_2\overrightarrow{M_1M_2}|;
  2. через основание и высоту: основание натянуто на s⃗1,s⃗2\vec s_1,\vec s_2, Sосн=∣s⃗1×s⃗2∣S_{\text{осн}}=|\vec s_1\times\vec s_2|; высота hh — расстояние между параллельными плоскостями, содержащими L1L_1 и L2L_2 (обе параллельны s⃗1\vec s_1 и s⃗2\vec s_2), то есть h=ρ(L1,L2)h=\rho(L_1,L_2).

∣s⃗1×s⃗2∣⋅ρ=∣s⃗1s⃗2M1M2→∣|\vec s_1\times\vec s_2|\cdot\rho=|\vec s_1\vec s_2\overrightarrow{M_1M_2}|. ■\blacksquare

Если прямые параллельны, формула даёт 00\frac00: тогда расстояние равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой (задача 464.2).

Общий перпендикуляр [не из конспекта; задачи 461–465]

Прямая, пересекающая L1L_1 и L2L_2 под прямым углом. Её направление n⃗=s⃗1×s⃗2\vec n=\vec s_1\times\vec s_2.

L₁ L₂PQPQ ⊥ s₁, PQ ⊥ s₂: |PQ| = ρ(L₁, L₂)

Способ 1 (точки-основания). P=M1+ts⃗1P=M_1+t\vec s_1, Q=M2+us⃗2Q=M_2+u\vec s_2; из условий PQ→⋅s⃗1=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec s_1=0, PQ→⋅s⃗2=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec s_2=0 находим t,ut,u. Ответ: прямая PQPQ, расстояние ∣PQ∣|PQ|.
Способ 2 (две плоскости). Плоскость через L1L_1, содержащая n⃗\vec n (нормаль s⃗1×n⃗\vec s_1\times\vec n), и плоскость через L2L_2, содержащая n⃗\vec n (нормаль s⃗2×n⃗\vec s_2\times\vec n). Общий перпендикуляр — их пересечение.

Пример. Расстояние от P(1,−1,2)P(1,-1,2) до прямой x2=y−21=z+1−1\frac x2=\frac{y-2}1=\frac{z+1}{-1} (задача 427).

Решение

M0(0,2,−1)M_0(0,2,-1), s⃗={2,1,−1}\vec s=\{2,1,-1\}, M0P→={1,−3,3}\overrightarrow{M_0P}=\{1,-3,3\}.
M0P→×s⃗={(−3)(−1)−3⋅1, 3⋅2−1⋅(−1), 1⋅1−(−3)⋅2}={0,7,7}\overrightarrow{M_0P}\times\vec s=\{(-3)(-1)-3\cdot1,\ 3\cdot2-1\cdot(-1),\ 1\cdot1-(-3)\cdot2\}=\{0,7,7\},  ∣⋅∣=72\ |\cdot|=7\sqrt2,  ∣s⃗∣=6\ |\vec s|=\sqrt6.
ρ=726=73\rho=\frac{7\sqrt2}{\sqrt6}=\frac{7}{\sqrt3}.

Способ 2: M0P→⋅s⃗=2−3−3=−4\overrightarrow{M_0P}\cdot\vec s=2-3-3=-4, s⃗⋅s⃗=6\vec s\cdot\vec s=6, p⃗=−23{2,1,−1}={−43,−23,23}\vec p=-\frac23\{2,1,-1\}=\left\{-\frac43,-\frac23,\frac23\right\}.
h⃗={1,−3,3}−p⃗={73,−73,73}\vec h=\{1,-3,3\}-\vec p=\left\{\frac73,-\frac73,\frac73\right\}, ρ=733=73\rho=\frac73\sqrt3=\frac7{\sqrt3} — то же. Основание перпендикуляра H=M0+p⃗=(−43;43;−13)H=M_0+\vec p=\left(-\frac43;\frac43;-\frac13\right).

Типичные ошибки

  • Искать угол между прямой и плоскостью через косинус угла s⃗\vec s и n⃗\vec n: нужен синус, потому что n⃗\vec n перпендикулярна плоскости.
  • Применять формулу для скрещивающихся к параллельным прямым (получается 00\frac00).
  • Взять за направляющий вектор прямой, заданной двумя плоскостями, одну из нормалей вместо n⃗1×n⃗2\vec n_1\times\vec n_2.
  • Читать x−10\frac{x-1}{0} как «не определено»: это уравнение x=1x=1.
  • Записать A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 как «уравнение прямой через точку и нормаль». В пространстве это плоскость: у прямой в пространстве нормаль не одна. Так можно писать только на плоскости, с двумя слагаемыми (тема 8a).