Справочник: логика и аксиомы ℝ

По второму присланному файлу, разделы 0–3. Нужны как язык курса: поле скаляров $\mathbb R$ , над которым строится векторное пространство (тема 9).

Логические символы

Символ	Смысл	Название
$\forall$	для всех, для любого	квантор всеобщности
$\exists$	существует	квантор существования
$\exists!$	существует единственный
$\Longrightarrow$	следовательно
$\Longleftrightarrow$	тогда и только тогда, когда
$:$	такой, что
$\wedge$	и (выполнены оба условия)	конъюнкция
$\vee$	или (выполнено хотя бы одно)	дизъюнкция

Аксиомы поля

Множество $\mathbb F$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$ — поле, если $\forall a,b,c\in\mathbb F$ :

№	Аксиома	Школьное название	Научный термин
1.1	$(a+b)+c=a+(b+c)$	сочетательный закон сложения	ассоциативность
1.2	$\exists0\in\mathbb F:\ a+0=0+a=a$	свойство нуля	нейтральный элемент
1.3	$\exists(-a)\in\mathbb F:\ a+(-a)=(-a)+a=0$	противоположное число	противоположный элемент
1.4	$a+b=b+a$	переместительный закон сложения	коммутативность
2.1	$(ab)c=a(bc)$	сочетательный закон умножения	ассоциативность
2.2	$\exists1\in\mathbb F:\ 1\cdot a=a\cdot1=a$	свойство единицы	нейтральный элемент
2.3	$a\ne0\ \Rightarrow\ \exists a^{-1}\in\mathbb F:\ aa^{-1}=a^{-1}a=1$	взаимно обратное число	обратный элемент
2.4	$ab=ba$	переместительный закон умножения	коммутативность
3	$a(b+c)=ab+ac$	распределительный закон	дистрибутивность

Во втором файле у аксиомы 2.4 ( $a\cdot b=b\cdot a$ ) написано «переместительный закон сложения». Правильно: умножения.

Аксиомы порядка

№	Аксиома	Название
1.1	$a\le a$	рефлексивность
1.2	$(a\le b)\wedge(b\le a)\Rightarrow a=b$	антисимметричность
1.3	$(a\le b)\wedge(b\le c)\Rightarrow a\le c$	транзитивность
2.1	$a\le b\Rightarrow a+c\le b+c$	связь порядка со сложением
2.2	$(0\le a)\wedge(0\le b)\Rightarrow0\le ab$	связь порядка с умножением

1.1–1.3 — аксиомы порядка; 2.1 и 2.2 связывают порядок с операциями. Для вещественных чисел порядок ещё и линейный: любые два числа сравнимы [не из конспекта].

Аксиома непрерывности

Для непустых $A,B\subseteq X$ пишут $A\le B$ , если $a\le b$ для всех $a\in A$ , $b\in B$ .
$A\le B\ \Longrightarrow\ \exists c\in X:\ A\le\{c\}\le B.$

Множество вещественных чисел $\mathbb R$ — упорядоченное поле с аксиомой непрерывности. Рациональные числа ей не удовлетворяют: между множествами $\{x\in\mathbb Q:\ x^2<2,\ x>0\}$ и $\{x\in\mathbb Q:\ x^2>2,\ x>0\}$ нет рационального разделяющего числа [не из конспекта].