9. Аксиоматика: векторное, евклидово, аффинное пространства

вопросы РК: В1, В2, В3, В4, В5

Прочитано

РК: часть В конспекта (В.1–В.5); второй файл с аксиомами, разделы 4–9.

Суть

Всё, что для стрелок доказывалось картинками, здесь берётся за аксиомы. Векторное пространство — любое множество, где сложение и умножение на число подчиняются восьми правилам. Скалярное произведение добавляет длины и углы, определитель — объём со знаком, векторное произведение задаётся тремя соотношениями. Аффинное пространство — это точки, которые сдвигаются на векторы; прямые и плоскости — его подпространства.

Векторное пространство $V$ над полем $\mathbb F$ (В.1)

Множество $V$ с операциями сложения $\vec u+\vec v$ и умножения на скаляр $\alpha\vec v$ , для которых $\forall\vec u,\vec v,\vec w\in V,\ \forall\alpha,\beta\in\mathbb F$ :

№	Аксиома	Название
1	$(\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w)$	ассоциативность сложения
2	$\exists\vec 0\in V:\ \vec v+\vec 0=\vec v$	нейтральный элемент
3	$\exists(-\vec v)\in V:\ \vec v+(-\vec v)=\vec 0$	противоположный элемент
4	$\vec u+\vec v=\vec v+\vec u$	коммутативность
5	$(\alpha\beta)\vec v=\alpha(\beta\vec v)$	ассоциативность умножения на скаляры
6	$1\cdot\vec v=\vec v$	унитарность
7	$\alpha(\vec u+\vec v)=\alpha\vec u+\alpha\vec v$	дистрибутивность по векторам
8	$(\alpha+\beta)\vec v=\alpha\vec v+\beta\vec v$	дистрибутивность по скалярам

Линейный базис $\{\vec e_1,\vec e_2,\dots\}$ : всякий $\vec v\in V$ единственным образом представим как $\vec v=\alpha_1\vec e_1+\dots+\alpha_m\vec e_m$ (базис Гамеля).

Во втором файле в определении базиса написано $\vec v=\alpha_1\vec v_1+\dots+\alpha_n\vec v_n$ — это опечатка, раскладывать нужно по базисным векторам: $\vec v=\alpha_1\vec e_1+\dots+\alpha_m\vec e_m$ .

Скалярное произведение и норма (В.2)

Скалярное произведение в $V(\mathbb R)$ — функция $\langle\vec u,\vec v\rangle\in\mathbb R$ , для которой:

Аксиома	Название
$\langle\alpha\vec u,\vec v\rangle=\alpha\langle\vec u,\vec v\rangle$ , $\ \langle\vec u+\vec w,\vec v\rangle=\langle\vec u,\vec v\rangle+\langle\vec w,\vec v\rangle$	линейность по первому аргументу
$\langle\vec u,\vec v\rangle=\langle\vec v,\vec u\rangle$	симметричность
$\langle\vec v,\vec v\rangle\ge0$	положительная определённость
$\langle\vec v,\vec v\rangle=0\iff\vec v=\vec 0$	невырожденность

Линейность по второму аргументу следует из первой и симметричности. Векторы ортогональны, если $\langle\vec u,\vec v\rangle=0$ . Базис ортонормированный, если $\langle\vec e_i,\vec e_j\rangle=0$ при $i\ne j$ и $1$ при $i=j$ .

Норма $\|\cdot\|$ — функция на $V$ , для которой:

$\|\alpha\vec v\|=|\alpha|\cdot\|\vec v\|$ (однородность);
$\vec v\ne\vec 0\Rightarrow\|\vec v\|>0$ ;
$\|\vec x+\vec y\|\le\|\vec x\|+\|\vec y\|$ (неравенство треугольника).

Скалярное произведение порождает евклидову норму $\|\vec v\|=\sqrt{\langle\vec v,\vec v\rangle}$ ; неравенство треугольника для неё следует из неравенства Коши–Буняковского $|\langle\vec u,\vec v\rangle|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|$ [не из конспекта].

В первом файле (В.2) у нормы указано только неравенство треугольника, а однородность и положительность пропущены. Полный список из трёх аксиом — во втором файле, его и пиши.

Определитель (второй файл, раздел 7)

Функция $\det(\vec v_1,\dots,\vec v_n)$ от $n$ векторов $n$ -мерного пространства с базисом $\vec e_1,\dots,\vec e_n$ :

полилинейность — линейность по каждому аргументу;
кососимметричность — $\det(\dots,\vec v_k,\dots,\vec v_k,\dots)=0$ (два одинаковых аргумента дают ноль);
нормированность — $\det(\vec e_1,\dots,\vec e_n)=1$ .

Из 1 и 2 следует: перестановка двух аргументов меняет знак. При $1+1\ne0$ в поле верно и обратное. Геометрически определитель — ориентированный объём параллелепипеда на векторах.

Векторное, смешанное, двойное произведение аксиоматически (В.3)

Векторное произведение в $\mathbb R^3$ с ОНБ $\{\vec i,\vec j,\vec k\}$ — векторнозначная функция $[\vec u,\vec v]$ :

линейность по первому аргументу;
кососимметричность (антикоммутативность) $[\vec u,\vec v]=-[\vec v,\vec u]$ ;
образующие соотношения $[\vec i,\vec j]=\vec k$ , $[\vec j,\vec k]=\vec i$ , $[\vec k,\vec i]=\vec j$ .

Смешанное произведение $(\vec u,\vec v,\vec w):=\langle[\vec u,\vec v],\vec w\rangle=\det(\vec u,\vec v,\vec w)$ .
Двойное векторное произведение $[\vec u,\vec v,\vec w]:=[\vec u,[\vec v,\vec w]]$ :
$[\vec u,[\vec v,\vec w]]=\vec v\langle\vec u,\vec w\rangle-\vec w\langle\vec u,\vec v\rangle,\qquad [\vec u,[\vec v,\vec w]]+[\vec v,[\vec w,\vec u]]+[\vec w,[\vec u,\vec v]]=\vec 0.$

Аффинное пространство (В.4)

Множество точек $A$ , связанное с векторным пространством $V$ операцией сдвига точки на вектор $P+\vec v=Q$ , со свойствами:

$(P+\vec u)+\vec v=P+(\vec u+\vec v)$ ;
для любых $P,Q\in A$ существует единственный $\vec v\in V$ такой, что $P+\vec v=Q$ ; его обозначают $\overrightarrow{PQ}$ .

Аффинное подпространство, проходящее через точку $P_0$ с направляющим линейным подпространством $V_0\subseteq V$ :
$L=P_0+V_0=\{P\in A\mid P=P_0+\vec v,\ \vec v\in V_0\},\qquad \dim L=\dim V_0.$

Примеры аффинных подпространств (В.5)

Размерность	Направляющее $V_0$	Уравнение	Объект
0	$\{\vec 0\}$	$P=P_0$	точка
1	$\operatorname{span}\{\vec s\}=\{t\vec s\}$	$P=P_0+t\vec s$	прямая
2	$\operatorname{span}\{\vec u,\vec v\}$	$P=P_0+\lambda\vec u+\mu\vec v$	плоскость
3	$V_3$	$P=P_0+\vec v$	всё пространство

Параметрические уравнения прямой и плоскости из тем 7–8 — это ровно эти формулы в координатах.

Типичные ошибки

Перечислять аксиомы векторного пространства, путая 5 и 8: в 5 перемножаются скаляры, в 8 складываются.
Забыть аксиому $1\cdot\vec v=\vec v$ : без неё умножение $\alpha\vec v\equiv\vec 0$ удовлетворяло бы остальным.
Путать линейное подпространство (обязательно содержит $\vec 0$ ) и аффинное (сдвинутое на $P_0$ , например прямая не через начало координат).