РК1: векторы, плоскости, прямые

Главный экран: вопросы по конспекту, баллы и структура — по слитым билетам (теория: 3 вопроса по 1 баллу и вывод на 2 балла; задачи: 5 по 4 балла и 2 по 6)

Теория Задачи Вариант как на РК

Задача 1 (4 балла): деление отрезка, разложение вектора, точка пересечения прямых

решено 0 из 7

3.1

В параллелограмме

ABCD

точка

M

делит диагональ

BD

в отношении

1:3

, а точка

N

делит сторону

CD

пополам. Найти разложение вектора

\overrightarrow{MN}

по векторам

\vec a=\overrightarrow{AB}

\vec b=\overrightarrow{AD}

подсказка

Выразить положения точек через $\vec a,\vec b$ , отложив их от $A$ .

решение

От точки $A$ : $B=\vec a$ , $D=\vec b$ , $C=\vec a+\vec b$ .
$BM:MD=1:3\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{BD}=\vec a+\frac14(\vec b-\vec a)=\frac34\vec a+\frac14\vec b$ .
$N$ — середина $CD$ : $\overrightarrow{AN}=\frac12\bigl((\vec a+\vec b)+\vec b\bigr)=\frac12\vec a+\vec b$ .
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac14\vec a+\frac34\vec b.$
Ответ: $\overrightarrow{MN}=-\frac14\vec a+\frac34\vec b$ .

решил сам

7.1

Разложить вектор

\vec c=\{-10;3\}

по векторам

\vec a=\{3;-1\}

\vec b=\{7;-2\}

подсказка

$\vec c=\alpha\vec a+\beta\vec b$ — система из двух уравнений.

решение

$\begin{cases}3\alpha+7\beta=-10\\-\alpha-2\beta=3\end{cases}\Rightarrow\alpha=-3-2\beta,\ \ -9-6\beta+7\beta=-10\Rightarrow\beta=-1,\ \alpha=-1.$
Проверка: $-\{3,-1\}-\{7,-2\}=\{-10,3\}$ .
Ответ: $\vec c=-\vec a-\vec b$ .

решил сам

9.1

Найти точку пересечения прямых

3x-5y-13=0

2x+7y-81=0

подсказка

Решить систему.

решение

Умножим первое на $7$ , второе на $5$ и сложим: $21x+10x=91+405$ , $31x=496$ , $x=16$ ; $\ 5y=3\cdot16-13=35$ , $y=7$ .
Ответ: $(16;7)$ .

решил сам

11.1

Даны точки

A(1;1;2)

B(-4;6;12)

. Найти точку

C

, которая делит отрезок

AB

в отношении

2:3

подсказка

$AC:CB=\lambda=\frac23$ : $C=A+\frac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{AB}$ .

решение

$C=A+\frac25\overrightarrow{AB}=(1;1;2)+\frac25(-5;5;10)=(-1;3;6)$ .
(Через формулу: $x_C=\frac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda}=\frac{1+\frac23(-4)}{\frac53}=-1$ и т. д.)
Ответ: $C(-1;3;6)$ .

решил сам

16.1

Даны точки

A(-2;0;-3)

B(6;8;9)

. Найти точку

C

, которая делит отрезок

AB

в отношении

1:3

подсказка

$C=A+\frac14\overrightarrow{AB}$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=(8;8;12)$ , $C=(-2;0;-3)+(2;2;3)=(0;2;0)$ .
Ответ: $C(0;2;0)$ .

решил сам

17.1

Найти точку пересечения прямых

-4x+y-3=0

-5x+y-4=0

подсказка

Вычесть уравнения.

решение

Вычитаем: $x+1=0$ , $x=-1$ ; $\ y=3+4x=-1$ .
Ответ: $(-1;-1)$ .

решил сам

18.1

В трапеции

ABCD

основания

AD

BC

относятся как

2:1

, точка

M

делит сторону

AB

в отношении

2:3

, а точка

N

— середина стороны

CD

. Найти разложение вектора

\overrightarrow{MN}

по векторам

\vec a=\overrightarrow{AD}

\vec b=\overrightarrow{AB}

подсказка

$\overrightarrow{BC}=\frac12\vec a$ (основания параллельны и сонаправлены).

решение

От $A$ : $D=\vec a$ , $B=\vec b$ , $C=\vec b+\frac12\vec a$ ; $\ \overrightarrow{AM}=\frac25\vec b$ .
$\overrightarrow{AN}=\frac12\left(\vec b+\frac12\vec a+\vec a\right)=\frac34\vec a+\frac12\vec b$ .
$\overrightarrow{MN}=\frac34\vec a+\frac12\vec b-\frac25\vec b=\frac34\vec a+\frac1{10}\vec b.$
Ответ: $\overrightarrow{MN}=\frac34\vec a+\frac1{10}\vec b$ .

решил сам

Задача 2 (4 балла): площадь, объём, компланарность

решено 0 из 7

3.2

Объём параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a,\vec b,\vec c

, равен

3

. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах

-\vec a+\vec b+\vec c

\vec a-\vec b+\vec c

\vec a+\vec b-\vec c

подсказка

Смешанное произведение линейных комбинаций = определитель коэффициентов $\times\ \vec a\vec b\vec c$ .

решение

$\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=-1(1-1)-1(-1-1)+1(1+1)=4.$
$V'=|4|\cdot3=12$ .
Ответ: $12$ .

решил сам

7.2

Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки

A(0;1;-1)

B(0;1;0)

C(0;2;-3)

подсказка

$S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{0,0,1\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{0,1,-2\}$ , $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\{-1,0,0\}$ .
Ответ: $S=\frac12$ .

решил сам

9.2

Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки

A(1;-2;3)

B(4;2;2)

C(3;0;2)

подсказка

$S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{3,4,-1\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{2,2,-1\}$ :
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\{-4+2,\ -(-3+2),\ 6-8\}=\{-2,1,-2\},\quad|\cdot|=3.$
Ответ: $S=\frac32$ .

решил сам

11.2

Найти все значения

\lambda

, при которых точки

A(2;1;3)

B(3;-2;2)

C(2;2;3)

D(1;0;\lambda)

лежат в одной плоскости.

подсказка

Компланарность: $\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}=0$ .

решение

$\begin{vmatrix}1&-3&-1\\0&1&0\\-1&-1&\lambda-3\end{vmatrix}=1\cdot(\lambda-3)-0+(-1)\cdot(0+1)=\lambda-4=0.$
Ответ: $\lambda=4$ .

решил сам

16.2

Найти объём тетраэдра с вершинами

A(2;2;3)

B(2;-1;3)

C(3;1;2)

D(2;3;1)

подсказка

$V=\frac16|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}|$ .

решение

$\begin{vmatrix}0&-3&0\\1&-1&-1\\0&1&-2\end{vmatrix}=3\cdot(1\cdot(-2)-(-1)\cdot0)=-6.$
Ответ: $V=\frac{6}{6}=1$ .

решил сам

17.2

Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки

A(0;0;7)

B(2;3;5)

C(6;4;3)

подсказка

$S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{2,3,-2\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{6,4,-4\}$ :
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\{-12+8,\ -(-8+12),\ 8-18\}=\{-4,-4,-10\},\quad|\cdot|=\sqrt{132}=2\sqrt{33}.$
Ответ: $S=\sqrt{33}$ .

решил сам

18.2

Найти все значения

\lambda

, при которых точки

A(1;-3;4)

B(3;1;-2)

C(-8;5;5)

D(-1;-2;\lambda)

лежат в одной плоскости.

подсказка

$\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}=0$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{2,4,-6\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{-9,8,1\}$ , $\overrightarrow{AD}=\{-2,1,\lambda-4\}$ :
$2\bigl(8(\lambda-4)-1\bigr)-4\bigl(-9(\lambda-4)+2\bigr)-6(-9+16)=52\lambda-260=0.$
Ответ: $\lambda=5$ .

решил сам

Задача 3 (4 балла): плоскость

решено 0 из 7

3.3

Найти точки пересечения плоскости

2x-5y-z+10=0

с осями координат и задать эту плоскость уравнением «в отрезках».

подсказка

Перенести свободный член вправо и разделить на него.

решение

$2x-5y-z=-10\ \Big|:(-10)$ : $\ \dfrac x{-5}+\dfrac y2+\dfrac z{10}=1$ .
Ответ: $(-5;0;0)$ , $(0;2;0)$ , $(0;0;10)$ ; $\ \dfrac x{-5}+\dfrac y2+\dfrac z{10}=1$ .

решил сам

7.3

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(2;0;-3)

и перпендикулярна прямой

\dfrac x2=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{-2}

подсказка

$\vec n=\vec s$ .

решение

$2(x-2)-(y-0)-2(z+3)=0$ .
Ответ: $2x-y-2z-10=0$ .

решил сам

9.3

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(3;2;1)

параллельно плоскости

x+y-z+1=0

подсказка

Та же нормаль, новый свободный член.

решение

$x+y-z+D=0$ , $3+2-1+D=0\Rightarrow D=-4$ .
Ответ: $x+y-z-4=0$ .

решил сам

11.3

Найти расстояние от точки

M(-2;-3;3)

до плоскости

9x-4y+z+17=0

подсказка

Формула расстояния от точки до плоскости.

решение

$\rho=\dfrac{|9(-2)-4(-3)+3+17|}{\sqrt{81+16+1}}=\dfrac{14}{\sqrt{98}}=\dfrac{14}{7\sqrt2}$ .
Ответ: $\sqrt2$ .

решил сам

16.3

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки

A(1;1;2)

B(7;-2;2)

C(-1;5;6)

подсказка

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{6,-3,0\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{-2,4,4\}$ :
$\vec n=\{-12-0,\ -(24-0),\ 24-6\}=\{-12,-24,18\}\parallel\{2,4,-3\}$ .
$2(x-1)+4(y-1)-3(z-2)=0$ . Проверка $B$ : $14-8-6=0$ , $C$ : $-2+20-18=0$ .
Ответ: $2x+4y-3z=0$ .

решил сам

17.3

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(3;-3;4)

параллельно плоскости

-3x-2y+2z-1=0

подсказка

Та же нормаль.

решение

$-3x-2y+2z+D=0$ : $-9+6+8+D=0\Rightarrow D=-5$ .
Ответ: $3x+2y-2z+5=0$ .

решил сам

18.3

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(1;2;3)

параллельно плоскости

x-y-z+1=0

подсказка

Та же нормаль.

решение

$x-y-z+D=0$ : $1-2-3+D=0\Rightarrow D=4$ .
Ответ: $x-y-z+4=0$ .

решил сам

Задача 4 (4 балла): плоскость и прямая, расстояния, проекции

решено 0 из 7

3.4

Найти проекцию

Q

точки

P(5;1;2)

на плоскость

2x-2y-z=-3

подсказка

$Q=P-\dfrac{f(P)}{|\vec n|^2}\vec n$ .

решение

$f=2x-2y-z+3$ , $f(P)=10-2-2+3=9$ , $|\vec n|^2=9$ : $Q=(5;1;2)-1\cdot(2;-2;-1)$ .
Проверка: $6-6-3+3=0$ .
Ответ: $Q(3;3;3)$ .

решил сам

7.4

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через прямую

\dfrac x3=\dfrac y3=\dfrac{z-1}2

и перпендикулярна плоскости

2x+2y+3z=7

подсказка

$\vec n=\vec s\times\vec n_1$ , точка — с прямой.

решение

$\vec s=\{3,3,2\}$ , $\vec n_1=\{2,2,3\}$ : $\vec s\times\vec n_1=\{9-4,\ -(9-4),\ 6-6\}=\{5,-5,0\}\parallel\{1,-1,0\}$ .
Через $M_0(0;0;1)$ : $x-y=0$ .
Ответ: $x-y=0$ .

решил сам

9.4

Найти расстояние от точки

M(9;0;5)

до прямой

\dfrac{x-4}3=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z+4}0

подсказка

$\rho=\frac{|\overrightarrow{M_0M}\times\vec s|}{|\vec s|}$ . На фото последняя дробь читается нечётко — решено для $\frac{z+4}0$ .

решение

$M_0(4;-5;-4)$ , $\vec s=\{3,-1,0\}$ , $\overrightarrow{M_0M}=\{5,5,9\}$ .
$\overrightarrow{M_0M}\times\vec s=\{0+9,\ -(0-27),\ -5-15\}=\{9,27,-20\}$ , $|\cdot|=\sqrt{1210}=11\sqrt{10}$ ; $|\vec s|=\sqrt{10}$ .
Ответ: $\rho=11$ .

решил сам

11.4

Для прямой

x-y-z-2=0,\ x-3y+3z-2=0

найти параметрические уравнения.

подсказка

$\vec s=\vec n_1\times\vec n_2$ ; точка — при $z=0$ .

решение

$\vec s=\{1,-1,-1\}\times\{1,-3,3\}=\{-3-3,\ -(3+1),\ -3+1\}=\{-6,-4,-2\}\parallel\{3,2,1\}$ .
$z=0$ : $x-y=2$ , $x-3y=2\Rightarrow y=0$ , $x=2$ .
Ответ: $x=2+3t,\ y=2t,\ z=t$ .

решил сам

16.4

Найти точку пересечения плоскости

x+y+z=0

с прямой, проходящей через точки

A(-6;-9;-1)

B(8;5;3)

подсказка

Параметрически прямую $AB$ — в уравнение плоскости.

решение

$\overrightarrow{AB}=\{14,14,4\}\parallel\{7,7,2\}$ : $(-6+7t;\ -9+7t;\ -1+2t)$ .
$-16+16t=0\Rightarrow t=1$ .
Ответ: $(1;-2;1)$ .

решил сам

17.4

Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через прямую

\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-3}2

и перпендикулярна плоскости

2x+y-z-1=0

подсказка

$\vec n=\vec s\times\vec n_1$ .

решение

$\{1,1,2\}\times\{2,1,-1\}=\{-1-2,\ -(-1-4),\ 1-2\}=\{-3,5,-1\}$ .
$-3(x-1)+5(y-2)-(z-3)=0$ .
Ответ: $3x-5y+z+4=0$ .

решил сам

18.4

Найти расстояние от точки

M(5;-1;-2)

до прямой

\dfrac{x-2}1=\dfrac{y+1}0=\dfrac{z-1}0

подсказка

Прямая: $y=-1$ , $z=1$ , параллельна $Ox$ .

решение

Расстояние до прямой, параллельной $Ox$ , — расстояние в плоскости $yz$ : $\sqrt{(-1+1)^2+(-2-1)^2}=3$ .
(Формулой: $\overrightarrow{M_0M}=\{3,0,-3\}$ , $\times\{1,0,0\}=\{0,-3,0\}$ , $\rho=\frac31$ .)
Ответ: $3$ .

решил сам

Задача 5 (4 балла): уравнения прямой, углы

решено 0 из 7

3.5

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M(1;0;0)

параллельно оси

Oz

подсказка

$\vec s=\vec k=\{0,0,1\}$ .

решение

Ответ: $\dfrac{x-1}0=\dfrac y0=\dfrac z1$ (то есть $x=1$ , $y=0$ ).

решил сам

7.5

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M(0;1;0)

перпендикулярно плоскости

x+z=0

подсказка

$\vec s=\vec n=\{1,0,1\}$ .

решение

Ответ: $x=t,\ y=1,\ z=t$ .

решил сам

9.5

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M(3;3;3)

перпендикулярно плоскости

z=1

подсказка

$\vec s=\vec n=\{0,0,1\}$ .

решение

Ответ: $x=3,\ y=3,\ z=3+t$ .

решил сам

11.5

Найти угол между прямыми

x=2+3t,\ y=t,\ z=-t

x=2+t,\ y=3t,\ z=t

подсказка

$\cos\varphi=\frac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1||\vec s_2|}$ .

решение

$\vec s_1=\{3,1,-1\}$ , $\vec s_2=\{1,3,1\}$ : $\vec s_1\cdot\vec s_2=5$ , $|\vec s_1|=|\vec s_2|=\sqrt{11}$ .
Ответ: $\varphi=\arccos\frac5{11}$ .

решил сам

16.5

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M(2;1;-1)

перпендикулярно плоскости

2x+y+z-5=0

подсказка

$\vec s=\vec n$ .

решение

Ответ: $x=2+2t,\ y=1+t,\ z=-1+t$ .

решил сам

17.5

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M(3;0;-1)

параллельно оси

Oy

подсказка

$\vec s=\vec j$ .

решение

Ответ: $\dfrac{x-3}0=\dfrac y1=\dfrac{z+1}0$ (то есть $x=3$ , $z=-1$ ).

решил сам

18.5

Найти угол между плоскостями

x-y+12=0

-2x+2z-1=0

подсказка

Угол между нормалями, по модулю.

решение

$\vec n_1=\{1,-1,0\}$ , $\vec n_2=\{-2,0,2\}$ : $|\vec n_1\cdot\vec n_2|=2$ , $|\vec n_1|\,|\vec n_2|=\sqrt2\cdot2\sqrt2=4$ , $\cos\varphi=\frac12$ .
Ответ: $\varphi=\frac\pi3$ .

решил сам

Задача 6 (6 баллов): высоты через линейные комбинации, объём пирамиды

решено 0 из 7

3.6

Объём параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a,\vec b,\vec c

, равен

V=6

. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

\vec a,\vec b

, равна

S=2

. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a+\vec b

4\vec a-2\vec b

-\vec a-\vec b+3\vec c

, которая опущена из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.

подсказка

$h=\frac{V'}{S'}$ ; $V'$ — через определитель коэффициентов, $S'$ — через $\vec a\times\vec b$ .

решение

$V'=\left|\begin{vmatrix}1&1&0\\4&-2&0\\-1&-1&3\end{vmatrix}\right|\cdot V=|3\cdot(-2-4)|\cdot6=108$ .
$(\vec a+\vec b)\times(4\vec a-2\vec b)=-2\,\vec a\times\vec b+4\,\vec b\times\vec a=-6\,\vec a\times\vec b$ , $S'=6\cdot2=12$ .
Ответ: $h=\frac{108}{12}=9$ .

решил сам

7.6

Объём параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a,\vec b,\vec c

, равен

5

. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

\vec a,\vec b

, равна

10

. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a+4\vec b

2\vec a+3\vec b

\vec a+\vec b-2\vec c

, опущенную из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.

подсказка

$h=\frac{V'}{S'}$ .

решение

$V'=\left|\begin{vmatrix}1&4&0\\2&3&0\\1&1&-2\end{vmatrix}\right|\cdot5=|-2(3-8)|\cdot5=50$ .
$(\vec a+4\vec b)\times(2\vec a+3\vec b)=(3-8)\,\vec a\times\vec b$ , $S'=5\cdot10=50$ .
Ответ: $h=1$ .

решил сам

9.6

Параллелограмм построен на векторах

\vec m=13\vec a-2\vec b

\vec n=-3\vec a+\vec b

, где

|\vec a|=|\vec b|=1

и угол между

\vec a

\vec b

равен

60^\circ

. Найти высоту параллелограмма, опущенную из конца вектора

\vec n

на вектор

\vec m

подсказка

$h=\frac{S}{|\vec m|}=\frac{|\vec m\times\vec n|}{|\vec m|}$ .

решение

$\vec m\times\vec n=13\,\vec a\times\vec b+6\,\vec b\times\vec a=7\,\vec a\times\vec b$ , $S=7\cdot1\cdot1\cdot\sin60^\circ=\frac{7\sqrt3}2$ .
$\vec a\cdot\vec b=\frac12$ : $|\vec m|^2=169-52\cdot\frac12+4=147$ , $|\vec m|=7\sqrt3$ .
Ответ: $h=\frac12$ .

решил сам

11.6

Объём параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a,\vec b,\vec c

, равен

V=4

. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

\vec a,\vec b

, равна

S=2

. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах

\vec a+3\vec b

\vec a-4\vec b

2\vec a-3\vec b+4\vec c

, которая опущена из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.

подсказка

$h=\frac{V'}{S'}$ .

решение

$V'=\left|\begin{vmatrix}1&3&0\\1&-4&0\\2&-3&4\end{vmatrix}\right|\cdot4=|4(-4-3)|\cdot4=112$ .
$(\vec a+3\vec b)\times(\vec a-4\vec b)=(-4-3)\,\vec a\times\vec b$ , $S'=7\cdot2=14$ .
Ответ: $h=8$ .

решил сам

16.6

Вершинами тетраэдра служат точки

A(-1;2;2)

B(0;1;2)

C(-1;4;2)

D(0;1;0)

. Найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины

D

на грань

ABC

подсказка

$h=\frac{|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}$ — или заметить, что грань лежит в плоскости $z=2$ .

решение

У $A,B,C$ одинаковая $z=2$ — грань в плоскости $z=2$ ; расстояние от $D(0;1;0)$ до неё $|0-2|=2$ .
(Формулой: $\overrightarrow{AB}=\{1,-1,0\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{0,2,0\}$ , $\overrightarrow{AD}=\{1,-1,-2\}$ ; смешанное $=-4$ , $|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=2$ , $h=2$ .)
Ответ: $h=2$ .

решил сам

17.6

Треугольная пирамида

ABCD

имеет объём

9

, вершины

A(2;-1;-1)

B(-1;2;-1)

C(-1;-1;2)

, а о вершине

D

известно, что она лежит на положительной части оси

OX

. Найти координаты вершины

D

подсказка

$D(d;0;0)$ , $d>0$ ; $V=\frac16|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD}|$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{-3,3,0\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{-3,0,3\}$ , $\overrightarrow{AD}=\{d-2,1,1\}$ :
$\begin{vmatrix}-3&3&0\\-3&0&3\\d-2&1&1\end{vmatrix}=-3(0-3)-3(-3-3(d-2))=9d.$
$\frac{|9d|}6=9\Rightarrow|d|=6$ , $d>0$ .
Ответ: $D(6;0;0)$ .

решил сам

18.6

Параллелограмм построен на векторах

\vec m=15\vec a+11\vec b

\vec n=\vec a+2\vec b

, где

|\vec a|=1

|\vec b|=\sqrt3

и угол между

\vec a

\vec b

равен

30^\circ

. Найти высоту параллелограмма, опущенную из конца вектора

\vec n

на вектор

\vec m

подсказка

$h=\frac{|\vec m\times\vec n|}{|\vec m|}$ .

решение

$\vec m\times\vec n=(30-11)\,\vec a\times\vec b$ , $S=19\cdot1\cdot\sqrt3\cdot\frac12=\frac{19\sqrt3}2$ .
$\vec a\cdot\vec b=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac32$ : $|\vec m|^2=225+330\cdot\frac32+121\cdot3=1083$ , $|\vec m|=19\sqrt3$ .
Ответ: $h=\frac12$ .

решил сам

Задача 7 (6 баллов): симметрия, пересекающиеся прямые

решено 0 из 7

3.7

Найти точку

Q

, симметричную точке

P(-4;1;2)

относительно прямой

\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-3}0

подсказка

Основание перпендикуляра $H$ , затем $Q=2H-P$ .

решение

$M_0(0;-1;3)$ , $\vec s=\{1,-3,0\}$ , $\overrightarrow{M_0P}=\{-4,2,-1\}$ ; $t^*=\frac{-4-6+0}{10}=-1$ , $H=(-1;2;3)$ .
Ответ: $Q(2;3;4)$ .

решил сам

7.7

Составить канонические уравнения прямой, симметричной прямой

x=2+t,\ y=-1,\ z=3-3t

относительно плоскости

x+z-3=0

подсказка

Точка пересечения прямой с плоскостью остаётся на месте; вторую точку отразить.

решение

Пересечение: $2+t+3-3t-3=0\Rightarrow t=1$ , $K(3;-1;0)$ .
Точка прямой $P(2;-1;3)$ ( $t=0$ ): $f(P)=2$ , $|\vec n|^2=2$ , $P'=P-2\cdot\frac22\{1,0,1\}=(0;-1;1)$ .
Направление $\overrightarrow{KP'}=\{-3,0,1\}$ .
Ответ: $\dfrac{x-3}{-3}=\dfrac{y+1}0=\dfrac z1$ .

решил сам

9.7

Показать, что прямые

\dfrac{x-1}0=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-1}1

\dfrac x{-1}=\dfrac{y-3}3=\dfrac z0

пересекаются. Найти точку пересечения и составить уравнение плоскости, которой они принадлежат.

подсказка

Параметрически приравнять; нормаль плоскости $\vec s_1\times\vec s_2$ .

решение

$L_1$ : $(1;\ 1+t;\ 1+t)$ , $L_2$ : $(-u;\ 3+3u;\ 0)$ . Из $z$ : $t=-1$ , из $x$ : $u=-1$ ; $y$ : $0=0$ — совпало, прямые пересекаются в $(1;0;0)$ (и не параллельны).
$\vec s_1\times\vec s_2=\{0,1,1\}\times\{-1,3,0\}=\{-3,-1,1\}$ ; $-3(x-1)-y+z=0$ .
Ответ: точка $(1;0;0)$ , плоскость $3x+y-z-3=0$ .

решил сам

11.7

Показать, что прямые

\dfrac{x-4}1=\dfrac y{-3}=\dfrac{z-10}7

\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-13}5=\dfrac{z+19}{-11}

пересекаются. Найти точку пересечения и составить уравнение плоскости, которой они принадлежат.

подсказка

Параметрически приравнять.

решение

$4+t=-1-2u$ , $-3t=13+5u$ , $10+7t=-19-11u$ : из первых двух $t=-1$ , $u=-2$ ; третье: $3=3$ — пересекаются в $(3;3;3)$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{1,-3,7\}\times\{-2,5,-11\}=\{-2,-3,-1\}$ ; $2(x-3)+3(y-3)+(z-3)=0$ .
Ответ: точка $(3;3;3)$ , плоскость $2x+3y+z-18=0$ .

решил сам

16.7

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

(-2;1;4)

и пересекающей прямые

\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-1}0=\dfrac{z-1}1

\dfrac x1=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}2

подсказка

Плоскость через точку $P$ и первую прямую; её пересечение со второй прямой — точка $Q$ ; ответ — прямая $PQ$ .

решение

$P(-2;1;4)$ , $L_1$ : $M_1(1;1;1)$ , $\vec s_1=\{1,0,1\}$ . Нормаль плоскости $(P,L_1)$ : $\vec s_1\times\overrightarrow{PM_1}=\{1,0,1\}\times\{3,0,-3\}=\{0,6,0\}$ — плоскость $y=1$ .
$L_2$ : $(u;\ 1-u;\ 2+2u)$ , $y=1\Rightarrow u=0$ , $Q(0;1;2)$ .
$\overrightarrow{PQ}=\{2,0,-2\}\parallel\{1,0,-1\}$ ; эта прямая пересекает $L_1$ в $M_1(1;1;1)$ и не параллельна $L_1$ .
Ответ: $x=-2+t,\ y=1,\ z=4-t$ .

решил сам

17.7

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

(4;2;-3)

и пересекающей прямые

\dfrac{x-2}1=\dfrac y{-1}=\dfrac{z-1}0

\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}1

подсказка

Плоскость через точку и первую прямую ∩ вторая прямая.

решение

$P(4;2;-3)$ , $M_1(2;0;1)$ , $\vec s_1=\{1,-1,0\}$ , $\overrightarrow{PM_1}=\{-2,-2,4\}$ .
Нормаль: $\vec s_1\times\overrightarrow{PM_1}=\{-4-0,\ -(4-0),\ -2-2\}=\{-4,-4,-4\}\parallel\{1,1,1\}$ — плоскость $x+y+z-3=0$ .
$L_2$ : $(1-u;\ -1-u;\ 3+u)$ : $3-u=3\Rightarrow u=0$ , $Q(1;-1;3)$ .
$\overrightarrow{PQ}=\{-3,-3,6\}\parallel\{1,1,-2\}$ ; прямая проходит и через $M_1(2;0;1)$ на $L_1$ .
Ответ: $x=4+t,\ y=2+t,\ z=-3-2t$ .

решил сам

18.7

Найти точку

Q

, симметричную точке

P(3;2;-1)

относительно прямой

\dfrac{x-2}1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}1

подсказка

$H=M_0+t^*\vec s$ , $Q=2H-P$ .

решение

$M_0(2;-1;3)$ , $\vec s=\{1,-1,1\}$ , $\overrightarrow{M_0P}=\{1,3,-4\}$ ; $t^*=\frac{1-3-4}3=-2$ , $H=(0;1;1)$ .
Ответ: $Q(-3;0;3)$ .

решил сам

Задачник: Уравнение плоскости по условиям

решено 0 из 13

416

Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку

(2,3,-1)

и перпендикулярна вектору

(1,-3,-1)

подсказка

Точка + нормаль.

решение

$\vec n=\{1,-3,-1\}$ : $1(x-2)-3(y-3)-1(z+1)=0$ .
Ответ: $x-3y-z+6=0$ .

решил сам

417

Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку

(1,1,1)

и перпендикулярна прямой

\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-3}{-2}

подсказка

Нормаль плоскости = направляющий вектор прямой.

решение

$\vec n=\vec s=\{2,3,-2\}$ : $2(x-1)+3(y-1)-2(z-1)=0$ .
Ответ: $2x+3y-2z-3=0$ .

решил сам

418

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

(x_1,y_1,z_1)

и перпендикулярной к прямой

\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}

подсказка

Общий случай задачи 417.

решение

$\vec n=\vec s=\{a,b,c\}$ .
Ответ: $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$ .

решил сам

419

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой

x+2y-z+5=0,\ 3x+y+z-7=0

и проходящей через точку

(2,-3,1)

подсказка

Прямая задана двумя плоскостями: $\vec s=\vec n_1\times\vec n_2$ .

решение

$\vec s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&2&-1\\3&1&1\end{vmatrix}=\{2+1,\ -(1+3),\ 1-6\}=\{3,-4,-5\}.$
$3(x-2)-4(y+3)-5(z-1)=0$ .
Ответ: $3x-4y-5z-13=0$ .

решил сам

420

Найти уравнение плоскости, которая перпендикулярна плоскостям

2x+y-z+7=0

x-3y+z-1=0

и проходит через точку

(-1,1,0)

подсказка

Нормаль ⊥ обеим нормалям: $\vec n=\vec n_1\times\vec n_2$ .

решение

$\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\1&-3&1\end{vmatrix}=\{1-3,\ -(2+1),\ -6-1\}=\{-2,-3,-7\}\parallel\{2,3,7\}.$
$2(x+1)+3(y-1)+7z=0$ .
Ответ: $2x+3y+7z-1=0$ .

решил сам

421

Задать параметрически плоскость, проходящую через точку

(2,-1,1)

и перпендикулярную прямой

x-2y+z+3=0,\ 2x+3y-z+8=0

подсказка

$\vec n=\vec s=\vec n_1\times\vec n_2$ ; для параметрической записи нужны два вектора, перпендикулярные $\vec n$ .

решение

$\vec s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-2&1\\2&3&-1\end{vmatrix}=\{2-3,\ -(-1-2),\ 3+4\}=\{-1,3,7\}.$
Общее уравнение: $-(x-2)+3(y+1)+7(z-1)=0\iff x-3y-7z+2=0$ .
Направления в плоскости ( $\perp\{1,-3,-7\}$ ): $\vec u=\{3,1,0\}$ , $\vec v=\{7,0,1\}$ (проверка: $3-3+0=0$ , $7+0-7=0$ ; не коллинеарны).
Ответ: $x=2+3u+7v,\ \ y=-1+u,\ \ z=1+v$ (общее уравнение $x-3y-7z+2=0$ ).

решил сам

422

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости

4x+2y-z+8=0

и проходящей через точки

(0,1,-2)

(2,-1,1)

подсказка

Плоскость содержит $\overrightarrow{AB}$ и нормаль данной плоскости: $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\vec n_1$ .

решение

$\overrightarrow{AB}=\{2,-2,3\}$ , $\vec n_1=\{4,2,-1\}$ .
$\vec n_1\times\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\4&2&-1\\2&-2&3\end{vmatrix}=\{6-2,\ -(12+2),\ -8-4\}=\{4,-14,-12\}\parallel\{2,-7,-6\}.$
$2x-7(y-1)-6(z+2)=0$ . Проверка $B$ : $4+7-6-5=0$ .
Ответ: $2x-7y-6z-5=0$ .

решил сам

423

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки

A(1,0,3)

B(2,-1,4)

перпендикулярно плоскости

x=2u+4v,\ y=6v,\ z=3-u-v

подсказка

Нормаль данной плоскости — векторное произведение её направлений; затем $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\vec n_1$ .

решение

Направления данной плоскости $\{2,0,-1\}$ и $\{4,6,-1\}$ :
$\vec n_1=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&0&-1\\4&6&-1\end{vmatrix}=\{0+6,\ -(-2+4),\ 12\}=\{6,-2,12\}\parallel\{3,-1,6\}.$
$\overrightarrow{AB}=\{1,-1,1\}$ :
$\overrightarrow{AB}\times\vec n_1=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&1\\3&-1&6\end{vmatrix}=\{-6+1,\ -(6-3),\ -1+3\}=\{-5,-3,2\}.$
$-5(x-1)-3y+2(z-3)=0$ . Проверка $B$ : $10-3-8+1=0$ .
Ответ: $5x+3y-2z+1=0$ .

решил сам

424

В пучке, заданном плоскостями

3x-y+z-2=0

x+y-6z-1=0

, найти те плоскости, которые перпендикулярны данным.

подсказка

Пучок $\alpha\Pi_1+\beta\Pi_2=0$ ; условие перпендикулярности к каждой из двух плоскостей даёт $\alpha:\beta$ .

решение

Нормаль плоскости пучка: $\vec n=\{3\alpha+\beta,\ -\alpha+\beta,\ \alpha-6\beta\}$ .
⊥ первой ( $\{3,-1,1\}$ ): $3(3\alpha+\beta)-(-\alpha+\beta)+(\alpha-6\beta)=11\alpha-4\beta=0$ , $\alpha=4,\ \beta=11$ :
$4(3x-y+z-2)+11(x+y-6z-1)=23x+7y-62z-19=0$ .
⊥ второй ( $\{1,1,-6\}$ ): $(3\alpha+\beta)+(-\alpha+\beta)-6(\alpha-6\beta)=-4\alpha+38\beta=0$ , $\alpha=19,\ \beta=2$ :
$59x-17y+7z-40=0$ .
Ответ: $23x+7y-62z-19=0$ (⊥ первой), $59x-17y+7z-40=0$ (⊥ второй).

решил сам

436

Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости

x+3y-z+17=0

и отстоящей от точки

(2,-1,1)

на расстоянии

\sqrt{11}

подсказка

Ищем $x+3y-z+D=0$ ; расстояние даёт уравнение на $D$ .

решение

$\dfrac{|2-3-1+D|}{\sqrt{1+9+1}}=\sqrt{11}\iff|D-2|=11\iff D=13$ или $D=-9$ .
Ответ: $x+3y-z+13=0$ и $x+3y-z-9=0$ .

решил сам

454

Через ось

Oz

провести плоскость, образующую с плоскостью

2x+y-\sqrt5z-7=0

угол

\pi/3

подсказка

Плоскость через $Oz$ : $Ax+By=0$ ; косинус угла между плоскостями.

решение

$|\vec n_2|=\sqrt{4+1+5}=\sqrt{10}$ .
$\frac12=\frac{|2A+B|}{\sqrt{A^2+B^2}\,\sqrt{10}}\iff10(A^2+B^2)=4(2A+B)^2\iff3A^2+8AB-3B^2=0\iff(3A-B)(A+3B)=0.$
$B=3A$ : $x+3y=0$ ; $\ A=-3B$ : $3x-y=0$ .
Ответ: $x+3y=0$ и $3x-y=0$ .

решил сам

456

В пучке, определённом плоскостями

x+z-1=0

x+y-z+2=0

, найти плоскость, образующую угол

\arccos(1/\sqrt{10})

с плоскостью

y+z+6=0

подсказка

Пучок + косинус угла.

решение

$\vec n=\{\alpha+\beta,\ \beta,\ \alpha-\beta\}$ , $|\vec n|^2=2\alpha^2+3\beta^2$ , $\vec n\cdot\{0,1,1\}=\alpha$ .
$\frac{|\alpha|}{\sqrt{2\alpha^2+3\beta^2}\,\sqrt2}=\frac1{\sqrt{10}}\iff10\alpha^2=4\alpha^2+6\beta^2\iff\beta=\pm\alpha.$
$\beta=\alpha$ : $2x+y+1=0$ ; $\ \beta=-\alpha$ : $-y+2z-3=0$ .
Ответ: $2x+y+1=0$ и $y-2z+3=0$ .

решил сам

457

Через прямую

\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{0}

провести такую плоскость, чтобы острый угол между линиями её пересечения с плоскостями

Oxz

Oyz

был равен

\pi/3

подсказка

Нуль в знаменателе: прямая лежит в $z=1$ . Нормаль искомой плоскости $\perp\vec s$ ; направления линий пересечения — $\vec n\times\vec j$ и $\vec n\times\vec i$ .

решение

$M_0(0,-1,1)$ , $\vec s=\{1,-1,0\}$ . $\vec n=\{a,b,c\}\perp\vec s\Rightarrow b=a$ : $\vec n=\{a,a,c\}$ , плоскость $ax+a(y+1)+c(z-1)=0$ .
Линия с $Oxz$ ( $y=0$ ): $\vec d_1=\vec n\times\vec j=\{-c,0,a\}$ . Линия с $Oyz$ ( $x=0$ ): $\vec d_2=\vec n\times\vec i=\{0,c,-a\}$ .
$\cos\frac\pi3=\frac{|\vec d_1\cdot\vec d_2|}{|\vec d_1||\vec d_2|}=\frac{a^2}{a^2+c^2}=\frac12\iff c=\pm a.$
$c=a$ : $x+y+z=0$ ; $\ c=-a$ : $x+y-z+2=0$ . ( $a=0$ даёт $z=1$ — линии параллельны, не подходит.)
Ответ: $x+y+z=0$ и $x+y-z+2=0$ .

решил сам

Задачник: Перпендикуляры, проекции, симметричные точки

решено 0 из 9

425

Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки

(1,-7,2)

на оси координат

Ox

Oy

подсказка

Основание перпендикуляра на ось — обнулить остальные координаты.

решение

На $Ox$ : основание $(1,0,0)$ , направление $\{0,-7,2\}$ . На $Oy$ : основание $(0,-7,0)$ , направление $\{1,0,2\}$ .
Ответ: на $Ox$ : $\dfrac{x-1}0=\dfrac y{-7}=\dfrac z2$ (то есть $x=1$ , $2y+7z=0$ ); на $Oy$ : $\dfrac x1=\dfrac{y+7}0=\dfrac z2$ (то есть $y=-7$ , $z=2x$ ).

решил сам

426

Написать параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки

(x_0,y_0,z_0)

на плоскость

Ax+By+Cz+D=0

подсказка

Направление перпендикуляра — нормаль.

решение

Ответ: $x=x_0+At,\ \ y=y_0+Bt,\ \ z=z_0+Ct$ . Основание — при $t^*=-\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$ .

решил сам

427

Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

P(1,-1,2)

на прямую

\ell:\ \dfrac x2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z+1}{-1}

, и расстояние от точки

P

до прямой

\ell

подсказка

Основание $H=M_0+t^*\vec s$ , $t^*$ из $\overrightarrow{PH}\cdot\vec s=0$ .

решение

$M_0(0,2,-1)$ , $\vec s=\{2,1,-1\}$ , $H=(2t,\ 2+t,\ -1-t)$ .
$\overrightarrow{PH}=\{2t-1,\ t+3,\ -t-3\}$ ; $\overrightarrow{PH}\cdot\vec s=6t+4=0\Rightarrow t=-\frac23$ .
$H=\left(-\frac43,\frac43,-\frac13\right)$ , $\overrightarrow{PH}=-\frac73\{1,-1,1\}$ .
$\rho=|\overrightarrow{PH}|=\frac73\sqrt3=\frac7{\sqrt3}$ (сходится с формулой $\frac{|\overrightarrow{M_0P}\times\vec s|}{|\vec s|}=\frac{7\sqrt2}{\sqrt6}$ ).
Ответ: $\dfrac{x-1}1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}1$ ; $\ \rho=\dfrac7{\sqrt3}=\dfrac{7\sqrt3}3$ .

решил сам

428

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

(x_1,y_1,z_1)

на прямую

\dfrac{x-x_0}a=\dfrac{y-y_0}b=\dfrac{z-z_0}c

подсказка

Перпендикуляр — пересечение двух плоскостей: через $M_1$ перпендикулярно прямой и через прямую и $M_1$ .

решение

Обе плоскости содержат $M_1$ и основание $H$ , поэтому их пересечение — прямая $M_1H$ .
Ответ:
$\begin{cases}a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0,\\[2pt]\begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\a&b&c\\x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\end{vmatrix}=0\end{cases}$
( $M_1$ не на прямой). Основание: $H=M_0+t^*\vec s$ , $t^*=\dfrac{a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)}{a^2+b^2+c^2}$ .

решил сам

431

Найти точку, симметричную точке

(1,3,-4)

относительно плоскости

3x+y-2z=0

подсказка

$P'=P-2\dfrac{f(P)}{|\vec n|^2}\vec n$ .

решение

$f(P)=3+3+8=14$ , $|\vec n|^2=14$ . $H=P-\vec n=(-2,2,-2)$ , $P'=2H-P=P-2\vec n$ .
Ответ: $(-5,1,0)$ .

решил сам

432

Найти точку, симметричную точке

(1,2,3)

относительно прямой

\dfrac{x-8}1=\dfrac{y-11}3=\dfrac{z-4}{-1}

подсказка

Основание $H$ на прямой, затем $P'=2H-P$ .

решение

$M_0(8,11,4)$ , $\vec s=\{1,3,-1\}$ , $\overrightarrow{M_0P}=\{-7,-9,-1\}$ .
$t^*=\dfrac{-7-27+1}{11}=-3$ , $H=(5,2,7)$ .
Ответ: $P'=(9,2,11)$ .

решил сам

433

На оси

Oz

найти точку, равноудалённую от точки

M(1,-2,0)

и плоскости

3x-2y+6z-9=0

подсказка

Точка $(0,0,z)$ ; приравнять расстояния и возвести в квадрат.

решение

$|\vec n|=7$ . $\ \sqrt{1+4+z^2}=\dfrac{|6z-9|}7\iff49(5+z^2)=(6z-9)^2\iff13z^2+108z+164=0$ .
$D=108^2-4\cdot13\cdot164=3136=56^2$ , $z=\frac{-108\pm56}{26}$ : $z=-2$ или $z=-\frac{82}{13}$ .
Ответ: $(0,0,-2)$ и $\left(0,0,-\frac{82}{13}\right)$ .

решил сам

434

На плоскости

5x-3y+7z+10=0

найти такую точку, что сумма расстояний от неё до точек

(7,-1,5)

(29,3,-9)

будет наименьшей.

подсказка

Точки по одну сторону → отразить одну и соединить с другой.

решение

$f(A)=35+3+35+10=83>0$ , $f(B)=145-9-63+10=83>0$ — по одну сторону. $|\vec n|^2=83$ .
$A'=A-2\frac{83}{83}\vec n=(7,-1,5)-2(5,-3,7)=(-3,5,-9)$ .
Прямая $A'B$ : $(-3+32t,\ 5-2t,\ -9)$ . В плоскость: $5(-3+32t)-3(5-2t)-63+10=166t-83=0$ , $t=\frac12$ .
Ответ: $(13,4,-9)$ .

решил сам

460

Составить уравнения ортогональной проекции прямой

\dfrac{x-1}3=\dfrac{y+1}2=\dfrac{z-2}1

на плоскость

5x+6y-2z+1=0

подсказка

Проектирующая плоскость (через прямую ⊥ данной) ∩ данная плоскость.

решение

$\vec s\times\vec n=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\3&2&1\\5&6&-2\end{vmatrix}=\{-4-6,\ -(-6-5),\ 18-10\}=\{-10,11,8\}$ .
Проектирующая: $-10(x-1)+11(y+1)+8(z-2)=0\iff10x-11y-8z-5=0$ .
Направление проекции $\{-10,11,8\}\times\{5,6,-2\}\parallel\{14,-4,23\}$ ; точка пересечения прямой с плоскостью $\left(\frac{37}{25},-\frac{17}{25},\frac{54}{25}\right)$ .
Ответ: $\begin{cases}10x-11y-8z-5=0\\5x+6y-2z+1=0\end{cases}$ , или $\dfrac{x-37/25}{14}=\dfrac{y+17/25}{-4}=\dfrac{z-54/25}{23}$ .

решил сам

Задачник: Расстояния и углы

решено 0 из 11

429

Найти расстояние от точки

(1,3,5)

до прямой

2x+y+z-1=0,\ 3x+y+2z-3=0

подсказка

$\vec s=\vec n_1\times\vec n_2$ , точка на прямой при $z=0$ ; формула $\frac{|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s|}{|\vec s|}$ .

решение

$\vec s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&1\\3&1&2\end{vmatrix}=\{1,-1,-1\}$ . При $z=0$ : $2x+y=1,\ 3x+y=3\Rightarrow M_0(2,-3,0)$ .
$\overrightarrow{M_0M_1}=\{-1,6,5\}$ , $\ \overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s=\{-6+5,\ 5-1,\ 1-6\}=\{-1,4,-5\}$ , $|\cdot|=\sqrt{42}$ ; $|\vec s|=\sqrt3$ .
Ответ: $\rho=\sqrt{14}$ .

решил сам

430

Найти расстояние от точки

(1,-1,0)

до прямой

x=2+t,\ y=-1-t,\ z=2t

подсказка

Формула расстояния от точки до прямой.

решение

$M_0(2,-1,0)$ , $\vec s=\{1,-1,2\}$ , $\overrightarrow{M_0M_1}=\{-1,0,0\}$ .
$\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec s=\{0,2,1\}$ , $|\cdot|=\sqrt5$ , $|\vec s|=\sqrt6$ .
Ответ: $\rho=\sqrt{\frac56}=\frac{\sqrt{30}}6$ .

решил сам

435

Даны вершины тетраэдра

P(1,0,0)

Q(1,0,2)

R(1,1,1)

S(3,0,0)

. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины

P

на плоскость грани

QRS

подсказка

Плоскость $QRS$ , затем расстояние от $P$ .

решение

$\overrightarrow{QR}=\{0,1,-1\}$ , $\overrightarrow{QS}=\{2,0,-2\}$ , $\overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{QS}=\{-2,-2,-2\}\parallel\{1,1,1\}$ .
Плоскость: $x+y+z-3=0$ . $\ \rho(P)=\frac{|1-3|}{\sqrt3}$ .
Ответ: $h=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3$ .

решил сам

437

Найти расстояние от точки

(1,2,2)

до плоскости, заданной параметрическими уравнениями

x=2+3s+4t,\ y=5+6s+7t,\ z=8+9s+10t

подсказка

Перейти к общему уравнению: $\vec n=\vec a\times\vec b$ .

решение

$\vec a=\{3,6,9\}\parallel\{1,2,3\}$ , $\vec b=\{4,7,10\}$ : $\{1,2,3\}\times\{4,7,10\}=\{-1,2,-1\}$ .
Плоскость через $(2,5,8)$ : $(x-2)-2(y-5)+(z-8)=0\iff x-2y+z=0$ .
Ответ: $\rho=\frac{|1-4+2|}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}6$ .

решил сам

438

Найти расстояние между плоскостями

2x-4y-2z-1=0

3x-6y-3z+1=0

подсказка

Плоскости параллельны; привести к одинаковым коэффициентам при $x,y,z$ .

решение

Делим на $2$ и $3$ : $x-2y-z-\frac12=0$ и $x-2y-z+\frac13=0$ .
$\rho=\dfrac{|-\frac12-\frac13|}{\sqrt6}=\dfrac{5}{6\sqrt6}$ .
Ответ: $\dfrac{5\sqrt6}{36}$ .

решил сам

439

Найти расстояние между плоскостями

Ax+By+Cz+D_1=0

Ax+By+Cz+D_2=0

подсказка

Расстояние от точки одной плоскости до другой.

решение

Для $M_1$ первой плоскости $Ax_1+By_1+Cz_1=-D_1$ , поэтому $\rho=\frac{|-D_1+D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .
Ответ: $\rho=\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

решил сам

440

Найти угол между плоскостями

3x+4y-5z+1=0

x+2y+2z-18=0

подсказка

$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ .

решение

$\vec n_1\cdot\vec n_2=3+8-10=1$ , $|\vec n_1|=\sqrt{50}=5\sqrt2$ , $|\vec n_2|=3$ .
Ответ: $\varphi=\arccos\dfrac1{15\sqrt2}=\arccos\dfrac{\sqrt2}{30}\approx87{,}3^\circ$ (второй двугранный угол $\pi-\varphi$ ).

решил сам

451

Найти угол между прямыми

\dfrac x1=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{-1}

\dfrac{x-1}1=\dfrac y1=\dfrac{z+1}1

подсказка

Угол между направляющими.

решение

$\vec s_1\cdot\vec s_2=1-1-1=-1$ , $|\vec s_1|=|\vec s_2|=\sqrt3$ , $\cos\varphi=\frac13$ .
Ответ: $\varphi=\arccos\frac13$ .

решил сам

453

Найти угол между плоскостью

Oxy

и прямой

\dfrac{x-1}0=\dfrac y1=\dfrac{z-2}1

подсказка

Угол прямой и плоскости — через синус.

решение

$\vec s=\{0,1,1\}$ , $\vec n=\vec k$ : $\sin\varphi=\frac{|1|}{\sqrt2}$ .
Ответ: $\varphi=\frac\pi4$ .

решил сам

464

Найти расстояние между прямыми: 1)

x+y-1=0,\ z=0

x=1-t,\ y=-2+t,\ z=-1+3t

; 2)

\dfrac{x-1}1=\dfrac{y-2}2=\dfrac z3

x+y-z+1=0,\ 2x-y+3=0

подсказка

Сначала выяснить: скрещиваются или параллельны.

решение

1) $\vec s_1=\{1,1,0\}\times\{0,0,1\}=\{1,-1,0\}$ , $M_1(1,0,0)$ ; $M_2(1,-2,-1)$ , $\vec s_2=\{-1,1,3\}$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{-3,-3,0\}$ , $|\cdot|=3\sqrt2$ ; $\ \overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\vec s_1\times\vec s_2)=\{0,-2,-1\}\cdot\{-3,-3,0\}=6$ .
$\rho=\frac6{3\sqrt2}=\sqrt2$ .
2) $\vec s_2=\{1,1,-1\}\times\{2,-1,0\}=\{-1,-2,-3\}\parallel\vec s_1=\{1,2,3\}$ — прямые параллельны, формула для скрещивающихся не работает.
$M_2$ при $x=0$ : $y=3$ , $z=4$ ; $\overrightarrow{M_2M_1}=\{1,-1,-4\}$ , $\overrightarrow{M_2M_1}\times\vec s_1=\{5,-7,3\}$ , $|\cdot|=\sqrt{83}$ , $|\vec s_1|=\sqrt{14}$ .
Ответ: 1) $\sqrt2$ ; 2) $\sqrt{\frac{83}{14}}$ .

решил сам

466

Найти расстояние между диагональю куба и не пересекающей её диагональю грани, если ребро куба равно

1

подсказка

Ввести координаты: куб $[0,1]^3$ .

решение

Диагональ куба: $O(0,0,0)$ , $\vec s_1=\{1,1,1\}$ . Диагональ нижней грани, не проходящая через $O$ : от $(1,0,0)$ к $(0,1,0)$ , $\vec s_2=\{-1,1,0\}$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{-1,-1,2\}$ , $|\cdot|=\sqrt6$ ; $\ \overrightarrow{M_1M_2}=\{1,0,0\}$ , смешанное $=-1$ .
Ответ: $\rho=\frac1{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}6$ .

решил сам

Задачник: Биссекторные плоскости, острый и тупой угол

решено 0 из 8

441

Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между плоскостями: 1)

7x+y-6=0

3x+5y-4z+1=0

; 2)

x-2y+2z+3=0

4x+y-8z-1=0

подсказка

$\frac{f_1}{|\vec n_1|}=\pm\frac{f_2}{|\vec n_2|}$ .

решение

1) $|\vec n_1|=|\vec n_2|=\sqrt{50}$ — нормировать не нужно: $(7x+y-6)\pm(3x+5y-4z+1)=0$ .
2) $|\vec n_1|=3$ , $|\vec n_2|=9$ : $3(x-2y+2z+3)=\pm(4x+y-8z-1)$ .
Ответ: 1) $10x+6y-4z-5=0$ , $\ 4x-4y+4z-7=0$ ; 2) $x+7y-14z-10=0$ , $\ 7x-5y-2z+8=0$ .

решил сам

442

Даны плоскости

\Pi_1:\ 4x+y-8z-1=0

\Pi_2:\ x-2y+2z+3=0

. Найти уравнение такой плоскости

\Pi_3

, что

\Pi_2

делит пополам двугранный угол между

\Pi_1

\Pi_3

подсказка

$\Pi_3$ — отражение $\Pi_1$ в $\Pi_2$ : лежит в пучке $\Pi_1,\Pi_2$ , нормаль — отражённая $\vec n_1$ .

решение

Отражение нормали: $\vec n_1'=\vec n_1-2\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_2|^2}\vec n_2=\{4,1,-8\}+\frac{28}9\{1,-2,2\}=\frac19\{64,-47,-16\}$ .
В пучке $\Pi_1+\lambda\Pi_2$ : $\{4+\lambda,\ 1-2\lambda,\ -8+2\lambda\}\parallel\{64,-47,-16\}\Rightarrow\lambda=\frac{28}9$ .
$9\Pi_1+28\Pi_2=0$ .
Ответ: $64x-47y-16z+75=0$ .

решил сам

443

Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка

(x_0,y_0,z_0)

лежала в остром угле, образуемом двумя пересекающимися и не взаимно перпендикулярными плоскостями

A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0

A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0

подсказка

Знаки $f_1,f_2$ задают один из четырёх углов; величина угла $\{f_1>0,f_2>0\}$ равна $\pi-\angle(\vec n_1,\vec n_2)$ .

решение

Угол $\{f_1>0,f_2>0\}$ острый $\iff\angle(\vec n_1,\vec n_2)>\frac\pi2\iff\vec n_1\cdot\vec n_2<0$ . Смена знака $f_2$ равносильна замене $\vec n_2\to-\vec n_2$ . Объединяя все случаи:
Ответ: $(A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1)(A_2x_0+B_2y_0+C_2z_0+D_2)(A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2)<0$ .

решил сам

444

В каком угле между плоскостями

7x+3y+z=0

3x+3y+z+2=0

(остром или тупом) лежит точка

(1,-1,1)

подсказка

Критерий из задачи 443.

решение

$f_1=7-3+1=5$ , $f_2=3-3+1+2=3$ , $\vec n_1\cdot\vec n_2=21+9+1=31$ . Произведение $5\cdot3\cdot31>0$ .
Ответ: в тупом.

решил сам

445

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей

x-y-z-1=0

2x+10y-2z-5=0

и делящей острый угол между ними пополам.

подсказка

Биссекторы; выбор по знаку $\vec n_1\cdot\vec n_2$ .

решение

$|\vec n_1|=\sqrt3$ , $|\vec n_2|=6\sqrt3$ , $\vec n_1\cdot\vec n_2=2-10+2=-6<0$ . Острый угол — где $f_1f_2>0$ , его биссектор: $\frac{f_1}{\sqrt3}=\frac{f_2}{6\sqrt3}$ , то есть $6f_1-f_2=0$ .
Проверка: угол между плоскостями $\arccos\frac13\approx70{,}5^\circ$ , биссектор образует с $\Pi_1$ угол $\approx35{,}3^\circ$ — половину.
Ответ: $4x-16y-4z-1=0$ .

решил сам

446

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей

5x-2y+2z-4=0

8x+2y-8z+3=0

и делящей пополам тот угол между ними, в котором находится точка

(-1,-1,-1)

подсказка

Знаки $f_1,f_2$ в точке определяют знак в $\pm$ .

решение

$f_1(-1,-1,-1)=-9<0$ , $f_2=1>0$ . $|\vec n_1|=\sqrt{33}$ , $|\vec n_2|=2\sqrt{33}$ . В этом угле $\frac{f_1}{|\vec n_1|}=-\frac{f_2}{|\vec n_2|}$ , то есть $2f_1+f_2=0$ .
Ответ: $18x-2y-4z-5=0$ .

решил сам

447

Написать уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла, образованного плоскостью

2x-3y+6z-6=0

с плоскостью

Oyz

подсказка

$Oyz$ : $x=0$ , $\vec n_2=\vec i$ .

решение

$|\vec n_1|=7$ , $\vec n_1\cdot\vec n_2=2>0$ — тупой угол там, где $f_1f_2>0$ , биссектор $\frac{f_1}7=\frac x1$ : $2x-3y+6z-6-7x=0$ .
Проверка: угол плоскостей $\arccos\frac27\approx73{,}4^\circ$ , тупой $\approx106{,}6^\circ$ ; найденная плоскость образует с $Oyz$ угол $\approx53{,}3^\circ$ — половину тупого.
Ответ: $5x+3y-6z+6=0$ .

решил сам

452

Проверить, что две прямые

x=1+2t,\ y=2t,\ z=t

x=11+8t,\ y=6+4t,\ z=2+t

пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними.

подсказка

Точка пересечения; биссектрисы — $\vec e_1\pm\vec e_2$ для единичных направлений.

решение

$1+2t=11+8u$ , $2t=6+4u$ , $t=2+u$ ⇒ $u=-1$ , $t=1$ : точка $(3,2,1)$ .
$\vec e_1=\frac13\{2,2,1\}$ , $\vec e_2=\frac19\{8,4,1\}$ , $\vec e_1\cdot\vec e_2=\frac{25}{27}>0$ — угол между $\vec e_1,\vec e_2$ острый, значит тупой угол лежит между $\vec e_1$ и $-\vec e_2$ : $\vec e_1-\vec e_2=\frac19\{-2,2,2\}\parallel\{-1,1,1\}$ .
Ответ: $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}1$ .

решил сам

Задачник: Многогранники, сферы, общий перпендикуляр

решено 0 из 10

448

Внутри треугольника, высекаемого на плоскости

Oxy

плоскостями

x+4y+8z+8=0

x-2y+2z+2=0

3x+4y+12=0

, найти точку, равноудалённую от этих плоскостей.

подсказка

Точка $(x,y,0)$ ; знаки $f_i$ внутри треугольника берём по его центроиду. Внимание: в третьей плоскости нет $z$ , $|\vec n_3|=5$ .

решение

Вершины треугольника (следы в $z=0$ ): $(-4,-1)$ , $(-2,-1{,}5)$ , $(-3{,}2,-0{,}6)$ ; в центроиде $f_1>0$ , $f_2>0$ , $f_3<0$ . Нормы: $9,\ 3,\ 5$ .
$\frac{f_1}9=\frac{f_2}3=-\frac{f_3}5$ :
$f_1=3f_2\Rightarrow x=5y+1$ ; $\ 5f_2=-3f_3\Rightarrow7x+y+23=0$ . Отсюда $y=-\frac56$ , $x=-\frac{19}6$ ; расстояние до каждой плоскости $\frac16$ .
Ответ: $\left(-\frac{19}6,\,-\frac56,\,0\right)$ .

решил сам

449

Найти центр и радиус сферы, вписанной в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью

11x-10y-2z-57=0

подсказка

Тетраэдр лежит в октанте $x>0,y<0,z<0$ (отрезки $\frac{57}{11},-5{,}7,-28{,}5$ ); центр $(r,-r,-r)$ .

решение

$|\vec n|=\sqrt{121+100+4}=15$ . Центр по ту же сторону, что и начало координат ( $f(O)=-57<0$ ):
$\frac{57-23r}{15}=r\Rightarrow r=\frac32$ .
Ответ: центр $\left(\frac32,-\frac32,-\frac32\right)$ , $r=\frac32$ .

решил сам

450

Даны четыре плоскости, образующие тетраэдр. Сколько существует сфер, их касающихся?

подсказка

Центр — точка, равноудалённая от четырёх плоскостей с выбранными знаками.

решение

Условие $\frac{f_i}{|\vec n_i|}=\varepsilon_ir$ с $\varepsilon_i=\pm1$ ; одновременная смена всех знаков даёт ту же сферу — $2^4/2=8$ вариантов. Всегда существуют вписанная и 4 вневписанные сферы (одна грань «с другой стороны»). Ещё три (по две грани с каждой стороны) существуют, только если для соответствующей пары граней $S_i+S_j\ne S_k+S_l$ .
Ответ: в общем случае $8$ ; не меньше $5$ (вписанная и 4 вневписанные), всего от $5$ до $8$ .

решил сам

455

Оси координат служат диагоналями правильного октаэдра, рёбра которого равны

a\sqrt2

. Найти: 1) уравнения граней октаэдра; 2) двугранные углы; 3) центр и радиус вписанного шара.

подсказка

Вершины $(\pm a,0,0)$ , $(0,\pm a,0)$ , $(0,0,\pm a)$ .

решение

Грань через $(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)$ : $x+y+z=a$ ; остальные — смены знаков: $\pm x\pm y\pm z=a$ (8 граней).
Соседние грани $x+y+z=a$ и $x+y-z=a$ : угол нормалей $\arccos\frac13$ ; внутренний двугранный угол тупой: $\pi-\arccos\frac13=\arccos\left(-\frac13\right)\approx109{,}5^\circ$ .
Центр $O$ , $r=\rho(O,\ x+y+z=a)=\frac a{\sqrt3}$ . Ответ: $\pm x\pm y\pm z=a$ ; $\arccos(-\frac13)$ ; центр $(0,0,0)$ , $r=\frac{a}{\sqrt3}$ .

решил сам

458

Известно, что плоскости

A_kx+B_ky+C_kz+D_k=0

k=1,2,3

, образуют призму. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы все три её внутренних двугранных угла были острыми.

подсказка

Сечение призмы — треугольник; внутренние нормали $\vec\nu_k$ , угол при ребре $(i,j)$ острый $\iff\vec\nu_i\cdot\vec\nu_j<0$ .

решение

Нормали лежат в одной плоскости (⊥ рёбрам), и $\lambda_1\vec n_1+\lambda_2\vec n_2+\lambda_3\vec n_3=\vec 0$ с внутренними нормалями $\vec\nu_k=\pm\operatorname{sign}(\lambda_k)\vec n_k$ (сумма внутренних нормалей с весами-длинами сторон равна нулю). Тогда знак $\vec\nu_i\cdot\vec\nu_j$ совпадает со знаком $\lambda_i\lambda_j(\vec n_i\cdot\vec n_j)$ . В треугольнике не больше одного неострого угла, поэтому из трёх величин хотя бы две отрицательны, и все три отрицательны $\iff$ их произведение $(\lambda_1\lambda_2\lambda_3)^2\prod(\vec n_i\cdot\vec n_j)<0$ .
Ответ: $(A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2)(A_2A_3+B_2B_3+C_2C_3)(A_3A_1+B_3B_1+C_3C_1)<0$ .

решил сам

459

Доказать, что три плоскости

x-2y+2z=0

2x-y-2z+2=0

5x+2y-14z+14=0

образуют призму. Найти: величину

\gamma

внутреннего двугранного угла этой призмы, образованного первой и второй плоскостями; ось

\ell

и радиус

r

вписанного в призму цилиндра.

подсказка

Нормали компланарны, но три плоскости не проходят через одну прямую.

решение

$\vec n_3=-3\vec n_1+4\vec n_2$ (нормали компланарны, все рёбра параллельны $\vec s=\vec n_1\times\vec n_2=\{6,6,3\}\parallel\{2,2,1\}$ ). Но $-3D_1+4D_2=8\ne14=D_3$ — общей прямой нет, это призма.
$\vec n_1\cdot\vec n_2=2+2-4=0$ ⇒ $\gamma=\frac\pi2$ .
Ось — точки, равноудалённые от трёх плоскостей внутри призмы. Знаки по $3\vec n_1-4\vec n_2+\vec n_3=\vec 0$ : $\frac{f_1}3=-\frac{f_2}3=\frac{f_3}{15}$ :
$f_1+f_2=0\Rightarrow3x-3y+2=0$ ; $\ 5f_1=f_3\Rightarrow6y-12z+7=0$ . При $z=0$ : $y=-\frac76$ , $x=-\frac{11}6$ , $r=\frac{|f_1|}3=\frac16$ .
Ответ: $\gamma=\frac\pi2$ ; $\ \ell:\ \dfrac{x+\frac{11}6}2=\dfrac{y+\frac76}2=\dfrac z1$ ; $\ r=\frac16$ .

решил сам

461

Составить уравнения общего перпендикуляра к двум прямым

\dfrac x1=\dfrac{y+4}3=\dfrac z2

\dfrac{x-3}2=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z+3}{-2}

подсказка

Основания $P,Q$ из $\overrightarrow{PQ}\perp\vec s_1,\vec s_2$ .

решение

$P=(t,\ -4+3t,\ 2t)$ , $Q=(3+2u,\ -2-3u,\ -3-2u)$ .
$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec s_1=3-11u-14t=0$ , $\ \overrightarrow{PQ}\cdot\vec s_2=6+17u+11t=0$ ⇒ $t=1$ , $u=-1$ .
$P(1,-1,2)$ , $Q(1,1,-1)$ , $\overrightarrow{PQ}=\{0,2,-3\}\parallel\vec s_1\times\vec s_2$ ; расстояние $\sqrt{13}$ .
Ответ: $\dfrac{x-1}0=\dfrac{y+1}2=\dfrac{z-2}{-3}$ (или $13x-3y-2z-12=0,\ 13x+6y+4z-15=0$ ).

решил сам

462

Составить уравнения общего перпендикуляра к двум прямым

\dfrac{x-1}8=\dfrac{y-2}4=\dfrac{z-3}1

\begin{cases}x+y=1,\\x+2y+2z=-1\end{cases}

, найти расстояние

d

между этими прямыми и точки пересечения общего перпендикуляра с ними.

подсказка

Вторая прямая: $\vec s_2=\vec n_1\times\vec n_2$ , точка при $y=0$ .

решение

$\vec s_2=\{1,1,0\}\times\{1,2,2\}=\{2,-2,1\}$ , $M_2(1,0,-1)$ ; $M_1(1,2,3)$ , $\vec s_1=\{8,4,1\}$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{6,-6,-24\}\parallel\{1,-1,-4\}$ ; $\ d=\frac{|\{0,-2,-4\}\cdot\{1,-1,-4\}|}{\sqrt{18}}=\frac{18}{3\sqrt2}=3\sqrt2$ .
$P=M_1+t\vec s_1$ , $Q=M_2+u\vec s_2$ : $9u-81t-12=0$ , $9u-9t=0$ ⇒ $t=u=-\frac16$ .
$P\left(-\frac13,\frac43,\frac{17}6\right)$ , $Q\left(\frac23,\frac13,-\frac76\right)$ , $\overrightarrow{PQ}=\{1,-1,-4\}$ .
Ответ: $\dfrac{x-\frac23}1=\dfrac{y-\frac13}{-1}=\dfrac{z+\frac76}{-4}$ ; $\ d=3\sqrt2$ ; точки $P\left(-\frac13,\frac43,\frac{17}6\right)$ , $Q\left(\frac23,\frac13,-\frac76\right)$ .

решил сам

463

Даны две прямые:

x-y+z+1=0,\ 2x+3y-z+2=0

x=0,\ x+2y-z+1=0

. Найти расстояние между ними и составить уравнения общего перпендикуляра.

подсказка

Обе прямые заданы плоскостями: направления — векторные произведения нормалей.

решение

$\vec s_1=\{1,-1,1\}\times\{2,3,-1\}=\{-2,3,5\}$ , при $x=0$ : $M_1\left(0,-\frac32,-\frac52\right)$ .
$\vec s_2=\{1,0,0\}\times\{1,2,-1\}=\{0,1,2\}$ , $M_2(0,0,1)$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{1,4,-2\}$ , $|\cdot|=\sqrt{21}$ ; $\overrightarrow{M_1M_2}=\left\{0,\frac32,\frac72\right\}$ , смешанное $=6-7=-1$ ; $\ d=\frac1{\sqrt{21}}$ .
Основания: $t=-\frac1{42}$ , $u=-\frac{37}{21}$ ; $P\left(\frac1{21},-\frac{11}7,-\frac{55}{21}\right)$ , $Q\left(0,-\frac{37}{21},-\frac{53}{21}\right)$ .
Ответ: $d=\dfrac1{\sqrt{21}}$ ; общий перпендикуляр $\dfrac x1=\dfrac{y+\frac{37}{21}}4=\dfrac{z+\frac{53}{21}}{-2}$ .

решил сам

465

К непересекающимся диагоналям граней куба, имеющих общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком отношении точки пересечения диагоналей с их общим перпендикуляром делят эти диагонали?

подсказка

Куб $[0,1]^3$ , общее ребро — от $(0,0,0)$ до $(0,1,0)$ .

решение

Диагонали: $(t,t,0)$ в грани $z=0$ и $(0,1-u,u)$ в грани $x=0$ (не пересекаются).
$\overrightarrow{PQ}=\{-t,\ 1-u-t,\ u\}$ ; $\perp\{1,1,0\}$ : $1-2t-u=0$ ; $\perp\{0,-1,1\}$ : $2u+t-1=0$ ⇒ $t=u=\frac13$ .
$P\left(\frac13,\frac13,0\right)$ , $Q\left(0,\frac23,\frac13\right)$ , $\overrightarrow{PQ}\parallel\{-1,1,1\}$ — параллелен диагонали куба; $|PQ|=\frac1{\sqrt3}$ .
Ответ: каждая точка делит свою диагональ в отношении $1:2$ , считая от вершины на общем ребре.

решил сам