РК1: векторы, плоскости, прямые

Главный экран: вопросы по конспекту, баллы и структура — по слитым билетам (теория: 3 вопроса по 1 баллу и вывод на 2 балла; задачи: 5 по 4 балла и 2 по 6)

Теория Задачи Вариант как на РК

минут:

Теория — билет 8, задачи — билет 11 из слитых. Как на РК: теория 3×1 + 2 балла, задачи 5×4 + 2×6. Время РК в материалах не указано — ставь своё. Решения скрыты до конца.

Нажми «Начать» — появятся вопросы.

Теория

Определение правой и левой тройки векторов (1 б.)

Эталон

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\vec a,\vec b,\vec c)$ правая, если из конца третьего вектора $\vec c$ кратчайший поворот от $\vec a$ к $\vec b$ виден против часовой стрелки; если по часовой — левая.

Мой балл: 0 1

Записать общее уравнение плоскости и уравнение «в отрезках». Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров (1 б.)

Эталон

Общее: $Ax+By+Cz+D=0$ , $A^2+B^2+C^2\ne0$ . Смысл: $\vec n=\{A,B,C\}$ — нормальный вектор, перпендикулярный плоскости; $D$ задаёт положение плоскости: $D=0$ — плоскость проходит через начало координат, а $\frac{|D|}{|\vec n|}$ — расстояние от начала координат до плоскости.
В отрезках: $\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$ ( $a,b,c\ne0$ ). Смысл: $a,b,c$ — величины отрезков (со знаком), отсекаемых плоскостью на осях $Ox,Oy,Oz$ : плоскость проходит через точки $(a,0,0)$ , $(0,b,0)$ , $(0,0,c)$ .

Мой балл: 0 1

Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов (1 б.)

Эталон

$(\vec a_1+\vec a_2)\times\vec b=\vec a_1\times\vec b+\vec a_2\times\vec b$ ;
$(\lambda\vec a)\times\vec b=\lambda(\vec a\times\vec b)$ .

Мой балл: 0 1

Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов (2 б.)

Эталон

Теорема. Три вектора ЛЗ $\iff$ они компланарны.

⇒ Пусть $\lambda_1\vec a+\lambda_2\vec b+\lambda_3\vec c=\vec 0$ , $\lambda_1\ne0$ . Тогда $\vec a=\beta\vec b+\gamma\vec c$ , где $\beta=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ , $\gamma=-\frac{\lambda_3}{\lambda_1}$ . Отложим $\vec b,\vec c$ из точки $O$ : $\beta\vec b$ и $\gamma\vec c$ лежат в плоскости $\vec b,\vec c$ , их сумма $\vec a$ (правило параллелограмма) — тоже. Векторы компланарны.

⇐ Если среди векторов есть нулевой или два коллинеарных — ЛЗ очевидна (нулевой с коэффициентом $1$ ; коллинеарные ЛЗ по критерию для двух векторов). Пусть $\vec a\nparallel\vec b$ . Отложим $\overrightarrow{OA}=\vec a$ , $\overrightarrow{OB}=\vec b$ , $\overrightarrow{OC}=\vec c$ в одной плоскости. Через $C$ проведём прямые, параллельные $OA$ и $OB$ ; получим параллелограмм $OA'CB'$ :
$\vec c=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}=\alpha\vec a+\beta\vec b\ \Rightarrow\ \alpha\vec a+\beta\vec b-1\cdot\vec c=\vec 0.$
Коэффициент $-1\ne0$ — комбинация нетривиальна, векторы ЛЗ. $\blacksquare$

Мой балл: 0 1 2

Задачи

Даны точки $A(1;1;2)$ и $B(-4;6;12)$ . Найти точку $C$ , которая делит отрезок $AB$ в отношении $2:3$ .

(4 б.)

Эталонное решение

$C=A+\frac25\overrightarrow{AB}=(1;1;2)+\frac25(-5;5;10)=(-1;3;6)$ .
(Через формулу: $x_C=\frac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda}=\frac{1+\frac23(-4)}{\frac53}=-1$ и т. д.)
Ответ: $C(-1;3;6)$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4

Найти все значения $\lambda$ , при которых точки $A(2;1;3)$ , $B(3;-2;2)$ , $C(2;2;3)$ , $D(1;0;\lambda)$ лежат в одной плоскости.

(4 б.)

Эталонное решение

$\begin{vmatrix}1&-3&-1\\0&1&0\\-1&-1&\lambda-3\end{vmatrix}=1\cdot(\lambda-3)-0+(-1)\cdot(0+1)=\lambda-4=0.$
Ответ: $\lambda=4$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4

Найти расстояние от точки $M(-2;-3;3)$ до плоскости $9x-4y+z+17=0$ .

(4 б.)

Эталонное решение

$\rho=\dfrac{|9(-2)-4(-3)+3+17|}{\sqrt{81+16+1}}=\dfrac{14}{\sqrt{98}}=\dfrac{14}{7\sqrt2}$ .
Ответ: $\sqrt2$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4

Для прямой $x-y-z-2=0,\ x-3y+3z-2=0$ найти параметрические уравнения.

(4 б.)

Эталонное решение

$\vec s=\{1,-1,-1\}\times\{1,-3,3\}=\{-3-3,\ -(3+1),\ -3+1\}=\{-6,-4,-2\}\parallel\{3,2,1\}$ .
$z=0$ : $x-y=2$ , $x-3y=2\Rightarrow y=0$ , $x=2$ .
Ответ: $x=2+3t,\ y=2t,\ z=t$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4

Найти угол между прямыми $x=2+3t,\ y=t,\ z=-t$ и $x=2+t,\ y=3t,\ z=t$ .

(4 б.)

Эталонное решение

$\vec s_1=\{3,1,-1\}$ , $\vec s_2=\{1,3,1\}$ : $\vec s_1\cdot\vec s_2=5$ , $|\vec s_1|=|\vec s_2|=\sqrt{11}$ .
Ответ: $\varphi=\arccos\frac5{11}$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4

Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a,\vec b,\vec c$ , равен $V=4$ . Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a,\vec b$ , равна $S=2$ . Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах $\vec a+3\vec b$ , $\vec a-4\vec b$ , $2\vec a-3\vec b+4\vec c$ , которая опущена из конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.

(6 б.)

Эталонное решение

$V'=\left|\begin{vmatrix}1&3&0\\1&-4&0\\2&-3&4\end{vmatrix}\right|\cdot4=|4(-4-3)|\cdot4=112$ .
$(\vec a+3\vec b)\times(\vec a-4\vec b)=(-4-3)\,\vec a\times\vec b$ , $S'=7\cdot2=14$ .
Ответ: $h=8$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4 5 6

Показать, что прямые $\dfrac{x-4}1=\dfrac y{-3}=\dfrac{z-10}7$ и $\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-13}5=\dfrac{z+19}{-11}$ пересекаются. Найти точку пересечения и составить уравнение плоскости, которой они принадлежат.

(6 б.)

Эталонное решение

$4+t=-1-2u$ , $-3t=13+5u$ , $10+7t=-19-11u$ : из первых двух $t=-1$ , $u=-2$ ; третье: $3=3$ — пересекаются в $(3;3;3)$ .
$\vec s_1\times\vec s_2=\{1,-3,7\}\times\{-2,5,-11\}=\{-2,-3,-1\}$ ; $2(x-3)+3(y-3)+(z-3)=0$ .
Ответ: точка $(3;3;3)$ , плоскость $2x+3y+z-18=0$ .

Мой балл: 0 1 2 3 4 5 6

Итого: 0 из 37 (теория: min 3 из 5; задачи: min 19 из 32)