РК1: пределы и непрерывность

Окрестностью точки $x_0$ на числовой прямой называется любой интервал, содержащий эту точку. Обозначение: $S(x_0)$.

$\varepsilon$-окрестностью точки $x_0$ называется интервал длиной $2\varepsilon$ с центром в точке $x_0$: $S_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,\ x_0+\varepsilon)$, $\varepsilon>0$.

$S(+\infty)=(M,+\infty)=\{x\in R:\ x>M\}$, где $M\in R$, $M>0$.

$S(-\infty)=(-\infty,-M)=\{x\in R:\ x<-M\}$, где $M\in R$, $M>0$.

$S(\infty)=\{x\in R:\ |x|>M\}=(-\infty,-M)\cup(M,+\infty)$, где $M\in R$, $M>0$ (внешность отрезка $[-M,M]$).

Число $a$ называется пределом последовательности $x_n$, если для любого $\varepsilon>0$ найдётся номер $n(\varepsilon)\in\mathbb N$ такой, что при всех $n>n(\varepsilon)$ выполнено $|x_n-a|<\varepsilon$:
$$\lim_{n\to+\infty}x_n=a\iff\forall\varepsilon>0\ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \forall n>n(\varepsilon)\Rightarrow|x_n-a|<\varepsilon.$$

Последовательность $x_n$ называется сходящейся, если она имеет конечный предел: $\exists a\in R:\ \lim_{n\to+\infty}x_n=a$.

Последовательность $x_n$ ограничена, если $\exists m,M\in R:\ \forall n\in\mathbb N\ \ m\le x_n\le M$ (равносильно: $\exists M>0\ \forall n:\ |x_n|\le M$).

Монотонной называется последовательность, которая является возрастающей, убывающей, неубывающей или невозрастающей.

$x_n$ возрастающая, если $x_{n+1}>x_n$ $\forall n\in\mathbb N$.

$x_n$ убывающая, если $x_{n+1}<x_n$ $\forall n\in\mathbb N$.

$x_n$ невозрастающая, если $x_{n+1}\le x_n$ $\forall n\in\mathbb N$.

$x_n$ неубывающая, если $x_{n+1}\ge x_n$ $\forall n\in\mathbb N$.

$x_n$ фундаментальная, если $\forall\varepsilon>0\ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N:\ \forall n>n(\varepsilon)\ \forall m>n(\varepsilon)\Rightarrow|x_n-x_m|<\varepsilon$.

Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Число $a$ — предел $f(x)$ при $x\to x_0$, если для любой последовательности $x_n\in D_f$, $x_n\ne x_0$, сходящейся к $x_0$, последовательность $f(x_n)$ сходится к $a$:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff\forall\{x_n\}:\ x_n\in D_f,\ x_n\ne x_0,\ x_n\to x_0\ \Rightarrow\ f(x_n)\to a.$$
Условие $x_n\ne x_0$ на слайде пропущено — писать обязательно.

$f(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$, если $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$, т. е. $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$.

$f(x)$ — бесконечно большая при $x\to x_0$, если $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$, т. е. $\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)|>M$.

Б.м. $f(x)$ и $g(x)$ при $x\to x_0$ — одного порядка малости, если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=a\ne0$. Обозначение (у лектора): $f=O(g)$.

Б.м. $f(x)$ и $g(x)$ при $x\to x_0$ несравнимы, если предел $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Б.м. $f(x)$ и $g(x)$ эквивалентны при $x\to x_0$, если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. Обозначение: $f\sim g$.

Число $k>0$ — порядок малости б.м. $f(x)$ относительно б.м. $g(x)$ при $x\to x_0$, если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g^k(x)}=a\ne0$.

Пусть $f$ определена в окрестности точки $x_0$, $x$ из этой окрестности. $\Delta x=x-x_0$ — приращение аргумента; $\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — приращение функции в точке $x_0$.

$f$ непрерывна в точке $x_0$, если она определена в окрестности $x_0$ и $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
Равносильно: $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$ (бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции).

Функция непрерывна на интервале $(a,b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. На слайде опечатка «интеграла».

Функция непрерывна на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, непрерывна в точке $a$ справа и в точке $b$ слева.

Точка $x_0$ — точка разрыва функции $f$, если $f$ определена в некоторой проколотой окрестности $x_0$ и не является непрерывной в точке $x_0$.

$x_0$ — точка устранимого разрыва, если существуют конечные равные односторонние пределы $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$, но $f(x_0)$ не определено или не равно им. (У лектора — только «не определено»; расширенный вариант безопаснее.)

$x_0$ — точка разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$.

$x_0$ — точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

$$\lim_{x\to0}f(x)=b\iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ 0<|x|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
Пример: $f=2x+3$, $b=3$: $|2x|<\varepsilon\iff|x|<\frac\varepsilon2$, $\delta=\frac\varepsilon2$.

$$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\iff\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.$$
Пример: $f=\frac1{(x-a)^2}$, $\delta=\frac1{\sqrt M}$.

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0\iff\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon.$$
Пример: $f=\frac1x$, $N=\frac1\varepsilon$.

$$\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty\iff\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<a-x<\delta\Rightarrow f(x)<-M.$$
Пример: $f=\frac1{x-a}$, $\delta=\frac1M$.

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty\iff\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)|>M.$$
Пример: $f=\frac1{x-a}$, $\delta=\frac1M$.

Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Функция имеет конечный предел при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда её можно представить в виде суммы этого предела и б.м. при $x\to x_0$:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff f(x)=a+\alpha(x),\ \alpha(x)\ \text{— б.м. при } x\to x_0.$$

Сумма конечного числа бесконечно малых функций при $x\to x_0$ есть бесконечно малая функция при $x\to x_0$.

Произведение бесконечно малой при $x\to x_0$ функции на (локально) ограниченную в окрестности $x_0$ функцию есть бесконечно малая функция.

Если $\alpha(x)$ — б.м. при $x\to x_0$ и $\alpha(x)\ne0$ в проколотой окрестности $x_0$, то $\frac1{\alpha(x)}$ — б.б. при $x\to x_0$. (И обратно: если $f$ — б.б., то $\frac1f$ — б.м.)

Б.м. $f(x)$ и $g(x)$ эквивалентны при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с каждой из них:
$$f\sim g\iff f-g=o(f),\ f-g=o(g).$$

Сумма конечного числа б.м. функций разного порядка малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости: если $\beta=o(\alpha)$, то $\alpha+\beta\sim\alpha$.