22. Эквивалентности: таблица и теоремы

РК: C6 (необходимое и достаточное условие эквивалентности), C7 (сумма б.м. разных порядков); практика — все пределы $\frac00$ с трансцендентными функциями.

Справочный блок: таблица эквивалентностей

Из лекции (сл. 32), $x\to0$:

$$a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n\sim a_nx^n\quad\text{при }x\to\infty.$$

Дополнения не из лекций, $x\to0$:

• $(1+x)^\mu-1\sim\mu x$ (любое $\mu\ne0$; обобщает $\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac xn$);
• $\operatorname{sh}x\sim x$, $\ \operatorname{th}x\sim x$, $\ \operatorname{ch}x-1\sim\frac{x^2}2$.

Главное правило подстановки: все формулы верны с $u(x)$ вместо $x$, если $u(x)\to0$ (и $u(x)\ne0$ около $x_0$ — условие предела сложной функции):
$$\sin u(x)\sim u(x),\quad\ln\bigl(1+u(x)\bigr)\sim u(x),\quad\dots\quad\text{при }u(x)\to0.$$
Примеры: $\sin3x\sim3x$; $\ \ln\cos x=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\sim\cos x-1\sim-\frac{x^2}2$; $\ e^{1/x}-1\sim\frac1x$ при $x\to\infty$; $\ \ln x\sim x-1$ при $x\to1$.

Доказательство $\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac xn$ (сл. 33–34), идея: $(1+x)^{1/n}-1=e^{\frac1n\ln(1+x)}-1\sim\frac1n\ln(1+x)\sim\frac xn$ (две эквивалентности подряд, $u=\frac1n\ln(1+x)\to0$).

Теоремы (формулировки дословно)

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие эквивалентности б.м.ф.). Бесконечно малые функции $f(x)$ и $g(x)$ эквивалентны при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости при $x\to x_0$ по сравнению с каждой из них.
$$f(x)\sim g(x)\ \text{при}\ x\to x_0\iff f(x)-g(x)=o\bigl(f(x)\bigr),\ \ f(x)-g(x)=o\bigl(g(x)\bigr)\ \text{при}\ x\to x_0.$$
Идея доказательства: $\dfrac{f-g}{g}=\dfrac fg-1\to0\iff\dfrac fg\to1$.

Теорема 2 (о сумме б.м. разных порядков). Сумма конечного числа бесконечно малых функций разного порядка малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.
$$\beta(x)=o\bigl(\alpha(x)\bigr)\ \Rightarrow\ \alpha(x)+\beta(x)\sim\alpha(x)\ \text{при}\ x\to x_0.$$
Идея: $\dfrac{\alpha+\beta}\alpha=1+\dfrac\beta\alpha\to1+0=1$.

Замечание (сл. 45). Сумма конечного числа бесконечно больших функций разного порядка роста эквивалентна слагаемому высшего порядка роста.

Теорема 3 (замена на эквивалентные). Предел отношения (произведения) двух б.м.ф. или двух б.б.ф. не изменится при замене этих функций на эквивалентные:
$$\left.\begin{array}{l}f(x)\sim f_0(x)\\ g(x)\sim g_0(x)\end{array}\right\}\text{ при }x\to x_0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f_0(x)}{g_0(x)}.$$
Идея: $\dfrac fg=\dfrac f{f_0}\cdot\dfrac{f_0}{g_0}\cdot\dfrac{g_0}g$, крайние множители $\to1$.

Правила применения

1. Заменять можно множители (в произведении и частном) — теорема 3.
2. В сумме/разности заменять почленно нельзя, кроме случая теоремы 2: слагаемые разного порядка — оставить младшее (по порядку малости).
3. Если слагаемые одного порядка и главные части сокращаются ($\operatorname{tg}x-\sin x$, $e^x-e^{2x}$ при неудачной записи) — сначала преобразовать в произведение: вынести общий множитель, формулы тригонометрии.
4. Множитель, стремящийся к числу $c\ne0$, заменяется числом $c$ (это не эквивалентность, а предел произведения).
5. Аргумент эквивалентности должен $\to0$: $\sin x\sim x$ только при $x\to0$; при $x\to\pi$ — замена $t=x-\pi$.

Алгоритм: предел $\frac00$ через эквивалентности

1. Подставить: $\frac00$ (иначе — другой приём, «Дан предел: с чего начать»).
2. Если точка $x_0\ne0$ — замена $t=x-x_0$; если $x\to\infty$ и аргументы $\to0$ (типа $\frac1x$) — сразу $u=\frac1x$.
3. Разложить числитель и знаменатель на множители (вынести общее, тригонометрические формулы, $a^x-b^x=b^x\bigl((a/b)^x-1\bigr)$).
4. Каждый б.м. множитель заменить по таблице (через правило подстановки $u(x)$); множители $\to c\ne0$ — числом.
5. Сократить, подставить.

Разобранные примеры

Типичные ошибки

• Замена слагаемых в разности одного порядка (пример 5).
• $\sin x\sim x$ при $x\not\to0$.
• $\ln x\sim x$ (верно $\ln x\sim x-1$ при $x\to1$; при $x\to0$ $\ln x$ — б.б.).
• $\arccos x\sim\dots$ при $x\to0$: $\arccos x\to\frac\pi2$ — не б.м., заменяется числом $\frac\pi2$.
• $a^x-1\sim\frac x{\ln a}$ — перепутано с логарифмом.
• Использовать эквивалентность в $1^\infty$ «внутри основания» без перехода к $e^{\lim(u-1)v}$.