14–16. Односторонние, на бесконечности, бесконечные пределы

л. 6

Прочитано

Общий принцип

Все определения предела устроены одинаково:
$\lim_{x\to A}f(x)=B\iff\forall\ \text{окрестности }U(B)\ \ \exists\ \text{окрестность }V(A):\ \ \forall x\in V(A)\cap D_f\ \Rightarrow\ f(x)\in U(B).$
Меняется только вид окрестностей:

Куда стремится $x$ ( $A$ )	$V(A)$ — условие на $x$	Параметр
$x_0$ (двусторонний)	$0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$	$\delta$
$x_0+0$ (справа)	$0<x-x_0<\delta$	$\delta$
$x_0-0$ (слева)	$0<x_0-x<\delta$	$\delta$
$\infty$	$\lvert x\rvert>N$	$N$
$+\infty$	$x>N$	$N$
$-\infty$	$x<-N$	$N$

Чему равен предел ( $B$ )	$U(B)$ — неравенство для $f$	Параметр
число $a$	$\lvert f(x)-a\rvert<\varepsilon$	$\varepsilon$
$\infty$	$\lvert f(x)\rvert>M$	$M$
$+\infty$	$f(x)>M$	$M$
$-\infty$	$f(x)<-M$	$M$

Шаблон: $\ \forall\ [\varepsilon\text{ или }M]>0\ \ \exists\ [\delta\text{ или }N]>0:\ \forall x:\ [\text{условие на }x]\ \Rightarrow\ [\text{неравенство для }f].$

Все $6\times4$ случая выписаны полностью — в теме 17.

Обозначения: $x\to x_0$ справа — $x\to x_0+0$ или $x\to x_0+$ ; слева — $x\to x_0-0$ или $x\to x_0-$ .

Определения лектора (кратко)

Тема 14. Односторонние пределы.

Опр. 1 (справа): $\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)=a_1\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a_1|<\varepsilon$ .
Опр. 2 (слева): $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)=a_2\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a_2|<\varepsilon$ .
Опр. 3: пределы справа и слева называются односторонними.

Тема 15. Пределы на бесконечности.

Опр. 4: $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x\in(N,+\infty)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$ .
Опр. 5: $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x\in(-\infty,-N)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$ .
Опр. 6: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x\in(-\infty,-N)\cup(N,+\infty)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$ .
Опр. 7: пределы при $x\to+\infty$ и $x\to-\infty$ тоже называются односторонними.

Тема 16. Бесконечные пределы.

Опр. 8: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|>M$ .
Опр. 9: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)>M$ .
Опр. 10: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)<-M$ .
Бесконечно большой предел на бесконечности (сл. 27):

Что реально отличается:

Для $\pm\infty$ в роли $B$ ( $+\infty$ , $-\infty$ ) важен знак; $\infty$ — только модуль. $+\infty$ и $-\infty$ — частные случаи $\infty$ , но не наоборот.
Для $\infty$ в роли $A$ : окрестность — объединение двух лучей, $|x|>N$ .
В $\delta(M)$ и $N(\varepsilon)$ параметр — функция от «точности» по $f$ , как и $\delta(\varepsilon)$ .

Теорема (о связи двустороннего предела с односторонними) (сл. 10)

Двусторонний предел функции $y=f(x)$ при $x\to x_0$ существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны. При этом двусторонний предел равен односторонним:
$\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff\exists\lim_{x\to x_0+0}f(x),\ \exists\lim_{x\to x_0-0}f(x),\ \lim_{x\to x_0+0}f(x)=\lim_{x\to x_0-0}f(x)=a.$

В лекции без доказательства (кадры 11–12 пустые). Идея не из лекций: $(\Rightarrow)$ $\overset{\circ}{S}{}^\pm_\delta(x_0)\subset\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ , то же $\delta$ годится. $(\Leftarrow)$ взять $\delta=\min(\delta_+,\delta_-)$ : тогда $\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)=\overset{\circ}{S}{}^+_\delta\cup\overset{\circ}{S}{}^-_\delta$ и неравенство выполнено на обеих половинах.

Аналог не из лекций: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\iff\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=a$ .

Рабочее следствие: если односторонние пределы различны или хотя бы один не существует — двустороннего предела нет.

Символическая арифметика с $0^\pm$ и $\pm\infty$ (как пишет лектор)

Запись	Значение
$\frac1{0+}$ , $\ \frac1{0-}$	$+\infty$ , $\ -\infty$
$\frac1{(0\pm)^2}$	$+\infty$
$\frac1{\pm\infty}$	$0$
$3^{+\infty}$ , $\ 3^{-\infty}$ (основание $>1$ )	$+\infty$ , $\ 0$
$e^{+\infty}$ , $\ e^{-\infty}$	$+\infty$ , $\ 0$
$\operatorname{arctg}(\pm\infty)$	$\pm\frac\pi2$
$\ln(0+)$	$-\infty$
$\sqrt{0+}$	$0$

Это сокращённая запись пределов, а не арифметика чисел: « $\frac1{0+}=+\infty$ » означает «если $g(x)\to0$ , $g(x)>0$ , то $\frac1{g(x)}\to+\infty$ » (тема 18).

Примеры лектора (сл. 6–9, 17–19, 25–26), ответы

Функция	Точка	Справа / при $+\infty$	Слева / при $-\infty$
$\ln x$ , $D_f=(0,+\infty)$	$0$	$-\infty$	не существует (не определена)
$\sqrt{-x}$ , $D_f=(-\infty,0]$	$0$	не существует	$\sqrt{0+}=0$
$(3+x)^{1/x}$	$0$	$3^{1/(0+)}=3^{+\infty}=+\infty$	$3^{1/(0-)}=3^{-\infty}=0$
$\frac{x-5}{\lvert x-5\rvert}$	$5$	$1$	$-1$
$\frac1x$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
$\frac1{(x-1)^2}$	$1$	$+\infty$	$+\infty$
$\operatorname{arctg}x$	$\infty$	$\frac\pi2$	$-\frac\pi2$
$e^x$	$\infty$	$+\infty$	$0$
$\frac1x$	$\infty$	$0$	$0$
$x^2$	$\infty$	$+\infty$	$(-\infty)^2=+\infty$

Выводы: у $\frac{x-5}{|x-5|}$ , $\frac1x$ , $(3+x)^{1/x}$ двустороннего предела в точке нет; $\lim\limits_{x\to1}\frac1{(x-1)^2}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x=0$ ; $\lim\limits_{x\to\infty}\operatorname{arctg}x$ и $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$ не существуют.

Алгоритм: когда считать односторонние пределы

Признаки в выражении: $|x-x_0|$ ; деление на выражение, обращающееся в $0$ в $x_0$ ; показатель $\frac1{x-x_0}$ ; $\operatorname{arctg}\frac1{x-x_0}$ ; кусочное задание; корень чётной степени или $\ln$ на границе $D_f$ ; $x\to\infty$ при $\operatorname{arctg}x$ , $e^x$ , $\sqrt{x^2}=|x|$ .

Посчитать предел справа: подставить $x=x_0+0$ , раскрыть модуль ( $|x-x_0|=x-x_0$ ), определить знак «нуля» ( $0+$ ).
То же слева ( $|x-x_0|=-(x-x_0)$ , $0-$ ).
Сравнить: равны — двусторонний предел есть и равен им; различны или один не существует — двустороннего нет.

Разобранные примеры

Пример 1. $\lim\limits_{x\to2}\operatorname{arctg}\dfrac1{x-2}$ .

Решение

Справа: $x-2\to0+$ , $\frac1{x-2}\to+\infty$ , $\operatorname{arctg}(+\infty)=\frac\pi2$ .
Слева: $x-2\to0-$ , $\frac1{x-2}\to-\infty$ , $\operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac\pi2$ .
$\frac\pi2\ne-\frac\pi2$ — двустороннего предела нет.

Пример 2. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ .