8a. Число e

л. 3–4

Прочитано

Определения

Рассматривается последовательность
$x_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\quad\forall n\in\mathbb N.$

Число $e$ — её предел; $e=2{,}7182818284590\dots$

Примеры (сл. 11): $y=e^x$ — экспонента; $y=\log_e x=\ln x$ — логарифм натуральный.

Теоремы

Теорема. Последовательность $x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ имеет предел, равный $e=2{,}7182818284590$ :
$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.$

В лекции теорема только заявлена: монотонность и ограниченность $x_n$ не доказаны, слайды 11 и далее сразу переходят к гиперболическим функциям.

Доказательство существования предела не из лекций и опоры

Опоры:

Опора	Есть в лекциях?
Бином Ньютона $(1+t)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k t^k$	Нет (школьная/алгебраическая формула)
Оценка $k!\ge2^{k-1}$ и сумма геометрической прогрессии	Нет (элементарно)
Теорема Вейерштрасса	Формулировка — да (л. 3–4); доказательство — нет, см. справочник «Полнота $R$ »

Шаг 1. Разложение по биному.
$x_n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\frac1{n^k}=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^k}=2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right).$

Шаг 2. Монотонность. Аналогично
$x_{n+1}=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k!}\left(1-\frac1{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right).$
Сравним почленно: при каждом $j\ge1$ $\ 1-\dfrac{j}{n+1}>1-\dfrac jn$ , поэтому каждое слагаемое с $k\le n$ в $x_{n+1}$ больше соответствующего в $x_n$ . Кроме того, в $x_{n+1}$ есть лишнее положительное слагаемое с $k=n+1$ . Значит, $x_{n+1}>x_n$ — последовательность возрастающая.

Шаг 3. Ограниченность. Каждая скобка $\left(1-\frac jn\right)\in(0,1)$ , поэтому
$x_n<2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\dots+\frac1{n!}.$
Так как $k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge2^{k-1}$ :
$x_n<1+\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{2^{n-1}}\right)=1+\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac12}=3-\frac1{2^{n-1}}<3.$
Снизу: $x_n\ge x_1=2$ . Итого $2\le x_n<3$ .

Шаг 4. Последовательность монотонна и ограничена, по теореме Вейерштрасса существует предел; его обозначают $e$ . Из $x_2=2{,}25\le x_n<3$ следует $2{,}25\le e\le3$ (предельный переход в неравенстве — для последовательностей аналогично теореме 4 л. 3–4 не из лекций).

Рабочие формулы

$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=e\approx2{,}718$ .
$2\le\left(1+\dfrac1n\right)^n<3$ , последовательность возрастает [из доказательства, не из лекций].
$\ln x=\log_e x$ , $\ \ln e=1$ , $\ e^{\ln x}=x$ ( $x>0$ ).
Развитие темы — второй замечательный предел $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$ и его следствия: тема 20 (л. 7–8).

Алгоритм типовых задач

Основные задачи с $e$ (неопределённость $1^\infty$ ) решаются через второй замечательный предел — тема 20. Здесь только сведение к $\left(1+\frac1n\right)^n$ :

Выделить множитель $\left(1+\frac1n\right)^n$ .
Оставшиеся множители посчитать отдельно.
Применить предел произведения (внимание: арифметика пределов последовательностей — не из лекций, аналог л. 5).

Разобранный пример

Пример. $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$ .

Решение

$\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right)\to e\cdot1=e.$

Типичные ошибки

Считать, что $\left(1+\frac1n\right)^n\to1$ , потому что « $1+\frac1n\to1$ , а $1$ в любой степени — $1$ ». Это неопределённость $1^\infty$ .
Писать, что в лекции доказано существование предела: только заявлено.
Применять к $\left(1+\frac1{2n}\right)^n$ формулу «сразу $e$ »: показатель должен совпадать с обратной величиной добавки — $\left(1+\frac1{2n}\right)^{2n}\to e$ , а $\left(1+\frac1{2n}\right)^n\to\sqrt e$ (см. тему 20).

Прочитано