10. Ограниченность функции

Определения

Определение 4. Функция называется ограниченной на всей области определения, если $\exists M\in R,\ M>0$ такое, что $|f(x)|\le M$:
$$\exists M>0\ \forall x\in D_f:\ |f(x)|\le M.$$

Определение 5. Функция называется ограниченной на всей области определения, если $\exists M,m\in R$ такие, что $m\le f(x)\le M$:
$$\exists m,M\in R\ \forall x\in D_f:\ m\le f(x)\le M.$$
Пример: $y=\sin x$ ($|\sin x|\le1$).

Определение 6. Если такого числа $M\in R$, $M>0$ не существует, то функция называется неограниченной. Пример: $y=\operatorname{tg}x$.

Определение 7. Функция называется локально ограниченной при $x\to x_0$, если существует проколотая окрестность с центром в точке $x_0$, в которой данная функция ограничена:
$$\exists M>0\ \exists\overset{\circ}{S}(x_0):\ \forall x\in\overset{\circ}{S}(x_0)\ \ |f(x)|\le M.$$
Пример (сл. 25): $y=\dfrac1x$.

Утверждение. Любая ограниченная функция является локально ограниченной, но не любая локально ограниченная функция является ограниченной.

Отрицания не из лекций

• Неограниченная: $\forall M>0\ \exists x\in D_f:\ |f(x)|>M$.
• Не локально ограниченная при $x\to x_0$: $\forall M>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ |f(x)|>M$.

Теоремы и доказательства

Теорем, кроме утверждения, нет. Доказательство утверждения не из лекций, 2 строки: если $|f(x)|\le M$ на всей $D_f$, то и в любой проколотой окрестности. Обратное опровергает $\frac1x$ при $x_0=1$.

Свойство «функция, имеющая конечный предел, локально ограничена» — теорема 2 темы 11.

Типичные ошибки

• Путать ограниченность (на всей $D_f$) и локальную ограниченность (в некоторой проколотой окрестности точки).
• Говорить «$\frac1x$ локально ограничена» без указания точки: при $x\to0$ — нет.