19. Первый замечательный предел

Теорема

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Доказательство (сл. 2–11, кадры 3–4 и 12 — анимация)

Рассмотрим односторонние пределы $\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\sin x}x$ и $\lim\limits_{x\to0-}\dfrac{\sin x}x$. Докажем, что каждый из них равен единице.

Предел справа. Пусть $x\to0$ справа ($x\to0+$). Тогда $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$.

Построение (чертёж на сл. 6):

• $R=1$ — радиус окружности, $O(0,0)$ — начало координат, $A(1,0)$;
• $K$ — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью;
• $L$ — точка пересечения второй стороны угла с касательной к этой окружности в точке $A(1,0)$;
• $H$ — проекция точки $K$ на ось абсцисс;
• $x$ — радианная мера угла;
• $OK=OA=R=1$, $\ \angle LOA=\angle KOH=x$.

$$\triangle OKH:\ \sin x=\frac{KH}{OK}=\frac{KH}1=KH,\qquad\triangle OLA:\ \operatorname{tg}x=\frac{LA}{OA}=\frac{LA}1=LA.$$

Сравним площади: $\triangle OKA$ содержится в секторе $OKA$, сектор содержится в $\triangle OLA$:
$$S_{\triangle OKA}<S_{\text{сек }OKA}<S_{\triangle OLA}.$$
Вычислим площади:
$$S_{\triangle OKA}=\frac12\cdot OA\cdot KH=\frac12\cdot1\cdot\sin x=\frac12\sin x,$$
$$S_{\text{сек }OKA}=\frac12\cdot OK\cdot OA\cdot\overset{\frown}{KA}=\frac12\cdot1\cdot1\cdot x=\frac12x,$$
$$S_{\triangle OLA}=\frac12\cdot OA\cdot LA=\frac12\cdot1\cdot\operatorname{tg}x=\frac12\operatorname{tg}x.$$

Подставим найденные площади в неравенство:
$$\frac12\sin x<\frac12x<\frac12\operatorname{tg}x\quad\text{или}\quad\sin x<x<\operatorname{tg}x.$$
Так как $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$, то $x>0$, $\sin x>0$, $\operatorname{tg}x>0$; делим на $\sin x$:
$$1<\frac x{\sin x}<\frac1{\cos x}.$$
Обратное неравенство:
$$\cos x<\frac{\sin x}x<1.$$
По теореме о пределе промежуточной функции (тема 11, теорема 5): $\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1$, $\lim\limits_{x\to0+}1=1$, значит
$$\lim_{x\to0+}\frac{\sin x}x=1.$$

Предел слева. Замена $u=-x$, $x=-u$; $x\to0-\Rightarrow u\to0+$:
$$\lim_{x\to0-}\frac{\sin x}x=\lim_{u\to0+}\frac{\sin(-u)}{-u}=\lim_{u\to0+}\frac{-\sin u}{-u}=\lim_{u\to0+}\frac{\sin u}u=1.$$

По теореме о связи двустороннего и односторонних пределов:
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0+}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0-}\frac{\sin x}x=1.$$
Теорема доказана.

Следствия (сл. 13–17)

$$\textbf{1.}\ \lim_{x\to0}\frac{\sin(a\cdot x)}x=a\qquad\textbf{2.}\ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}x=1\qquad\textbf{3.}\ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x=1$$
$$\textbf{4.}\ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg}x}x=1\qquad\textbf{5.}\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$$

Рабочие формулы

Обобщение через сложную функцию: если $u(x)\to0$ при $x\to x_0$ и $u(x)\ne0$ около $x_0$, то $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$ (то же для всех строк таблицы).

Неравенства из доказательства: $\sin x<x<\operatorname{tg}x$ при $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$; $|\sin x|\le|x|$ для всех $x$ (л. 9 old, «Утверждение 1»).

Алгоритм: тригонометрический предел $\frac00$

1. Убедиться, что неопределённость $\frac00$ и аргумент тригонометрических функций $\to0$. Если аргумент $\to x_0\ne0$ — сделать замену $t=x-x_0$ (или $t=x_0-x$) и формулы приведения, чтобы аргумент $\to0$.
2. Преобразовать: $\operatorname{tg}=\frac{\sin}{\cos}$; $1-\cos u=2\sin^2\frac u2$; разности синусов/косинусов — в произведения.
3. Каждый множитель $\sin u$ (или $\operatorname{tg}u$, $\arcsin u$, …) дополнить до $\frac{\sin u}u$, умножив и разделив на $u$.
4. Предел произведения — произведение пределов: $\frac{\sin u}u\to1$, остальное — алгебра.
5. Короче — то же через эквивалентности (тема 22).

Разобранные примеры

Типичные ошибки

• Применять $\frac{\sin x}x\to1$ при $x\to\infty$ (там $0$, тема 12) или при $x\to x_0\ne0$.
• Забывать про замену $t=x-x_0$, когда аргумент синуса не стремится к нулю.
• Заменять на $x$ слагаемые в разности ($\operatorname{tg}x-\sin x$).
• В доказательстве ссылаться на предельный переход в неравенстве до того, как доказано существование предела.
• Писать площадь сектора через хорду $KA$.