Блок B: определения по Коши с рисунками

Ответ на 2 балла = определение в кванторах + пример с проверкой по определению (найти $\delta(\varepsilon)$, $\delta(M)$, $N(\varepsilon)$ или $N(M)$) + рисунок.
Рисунки хранятся в 93_block_b_figs.json (inline SVG, ключи ниже) и рисуются от руки за 30 секунд: оси, точка $a$, пунктиры уровней, полоса окрестности, кривая.

Как рисовать от руки (общий шаблон)

1. Оси $x$, $y$.
2. Куда стремится $x$: конечная $a$ — вертикальная полоса $(a-\delta,a+\delta)$ (односторонний — только половина полосы); $\pm\infty$ — пунктир $x=N$ (или $x=-N$), заштриховать всё правее (левее); $\infty$ — оба пунктира $x=\pm N$, наружу.
3. Чему равен предел: число $b$ — горизонтальная полоса $(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$; $+\infty$ — пунктир $y=M$, кривая выше; $-\infty$ — пунктир $y=-M$, кривая ниже; $\infty$ — оба $y=\pm M$, кривая снаружи.
4. Кривая: внутри полосы по $x$ её значения лежат в «полосе по $y$». Для конечной точки — выколотый кружок в $(a,b)$.

B1. $\lim\limits_{x\to0}f(x)=b$, $b\in R$ — рисунок lim_a_b (с $a=0$)

$$\lim_{x\to0}f(x)=b\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ 0<|x|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
Пример: $f(x)=2x+3$, $b=3$: $|f(x)-3|=2|x|<\varepsilon\iff|x|<\frac\varepsilon2$; $\delta(\varepsilon)=\frac\varepsilon2$.

B2. $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, $a\in R$ — рисунок lim_a_pinf

$$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.$$
Пример: $f(x)=\frac1{(x-a)^2}$: $f>M\iff|x-a|<\frac1{\sqrt M}$; $\delta(M)=\frac1{\sqrt M}$.

B3. $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$ — рисунок lim_inf_0

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon.$$
Пример: $f(x)=\frac1x$: $\left|\frac1x\right|<\varepsilon\iff|x|>\frac1\varepsilon$; $N(\varepsilon)=\frac1\varepsilon$.

B4. $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=-\infty$, $a\in R$ — рисунок lim_a_minus_minf

$$\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<a-x<\delta\Rightarrow f(x)<-M.$$
Пример: $f(x)=\frac1{x-a}$: при $x<a$ $\ f=-\frac1{a-x}<-M\iff a-x<\frac1M$; $\delta(M)=\frac1M$.

B5 (вариант, Т2). $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, $a\in R$ — рисунок lim_a_inf

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)|>M.$$
Пример: $f(x)=\frac1{x-a}$: $|f|>M\iff|x-a|<\frac1M$; $\delta(M)=\frac1M$.

«Остальные — аналогично»: готовые примеры для всех случаев

Какой рисунок взять:

• $x\to a$, $f\to b$ (или $0$): lim_a_b; односторонний — заштриховать половину полосы.
• $x\to a$, $f\to+\infty$: lim_a_pinf; $-\infty$ — зеркально вниз; односторонний — одна ветвь.
• $x\to a$, $f\to\infty$: lim_a_inf (ветви в разные стороны) или lim_a_pinf.
• $x\to a-0$, $f\to-\infty$: lim_a_minus_minf; остальные односторонние — по аналогии.
• $x\to\infty$ / $\pm\infty$, $f\to b$: lim_inf_0 с полосой вокруг $b$; $x\to+\infty$ — только правая часть.
• $x\to\pm\infty$, $f\to\pm\infty$: пунктир $x=N$ и уровень $y=M$, кривая в правом верхнем «углу» [рисунок в оболочке не заготовлен — рисуется по шаблону].