5. Последовательности: монотонность, ограниченность

л. 1–2 · вопросы РК: A8, A9, A10, A11, A12, A13

Прочитано

Определения

Числовая последовательность — это множество числовых значений, которые можно упорядочить или перенумеровать (присвоить каждому значению определённый порядковый номер).

Обозначение: $x_n,\ \{x_n\},\ \{x_n\}_{n=1}^{\infty},\ n\in\mathbb N$ .

Формулировка слайда 25 нестрогая: члены последовательности могут повторяться (постоянная последовательность $\{2,2,2,\dots\}$ как множество равна $\{2\}$ ). Точнее не из лекций: последовательность — функция натурального аргумента $n\mapsto x_n$ , $\ \mathbb N\to R$ .

Примеры (сл. 27):

$x_n=\dfrac1n,\ n\in\mathbb N$ : $\ \left\{1,\dfrac12,\dfrac13,\dots,\dfrac1n,\dots\right\}$ .
$x_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb N$ : $\ \{-1,1,-1,1,-1,\dots,(-1)^n,\dots\}$ .

Монотонность (сл. 28–30)

Определение 1. Последовательность $x_n$ называется возрастающей, если $x_{n+1}>x_n$ , $\forall n\in\mathbb N$ . Пример: $\{1,2,3,4,5,\dots\}$ .

Определение 2. Последовательность $x_n$ называется неубывающей, если $x_{n+1}\ge x_n$ , $\forall n\in\mathbb N$ . Пример: $\{1,2,2,3,4,4,5,\dots\}$ .

Определение 3. Последовательность $x_n$ называется убывающей, если $x_{n+1}<x_n$ , $\forall n\in\mathbb N$ . Пример: $\left\{1,\frac12,\frac13,\dots,\frac1n,\dots\right\}$ .

Определение 4. Последовательность $x_n$ называется невозрастающей, если $x_{n+1}\le x_n$ , $\forall n\in\mathbb N$ . Пример: $\left\{1,\frac12,\frac12,\frac13,\frac14,\frac14,\frac15,\dots\right\}$ .

В слайде 29 пример заканчивается « $\dots,\frac1n,\dots$ », но общий член этой последовательности не $\frac1n$ (члены повторяются). Многоточие с $\frac1n$ — неточность слайда.

Определение 5. Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными.

Определение 6. Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными.

Постоянная последовательность: $\{2,2,2,2,\dots\}$ . Немонотонная последовательность: $\{1,-2,3,-4,5,\dots\}$ .

Ограниченность (сл. 37–39; в лекции идёт после предела последовательности)

Определение 3. Последовательность $x_n$ называется ограниченной сверху, если существует число $M\in R$ такое, что для любого $n\in\mathbb N$ выполнено неравенство $x_n\le M$ :
$\exists M\in R\ \ \forall n\in\mathbb N:\ x_n\le M.$

Определение 4. Последовательность $x_n$ называется ограниченной снизу, если существует число $m\in R$ такое, что для любого $n\in\mathbb N$ выполнено неравенство $x_n\ge m$ :
$\exists m\in R\ \ \forall n\in\mathbb N:\ x_n\ge m.$

Определение 5. Последовательность $x_n$ называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, или если существуют числа $m,M\in R$ такие, что для любого $n\in\mathbb N$ выполнено неравенство $m\le x_n\le M$ :
$\exists m,M\in R\ \ \forall n\in\mathbb N:\ m\le x_n\le M.$
Иногда говорят, что $x_n$ ограничена, если существует $M\in R$ такое, что $\forall n\in\mathbb N$ : $|x_n|\le M$ .

Отрицания не из лекций

Не ограничена сверху: $\forall M\in R\ \exists n\in\mathbb N:\ x_n>M$ .
Не ограничена снизу: $\forall m\in R\ \exists n\in\mathbb N:\ x_n<m$ .
Не ограничена: $\forall M>0\ \exists n\in\mathbb N:\ |x_n|>M$ .
Не возрастающая (в смысле «не является возрастающей»): $\exists n\in\mathbb N:\ x_{n+1}\le x_n$ .
Не неубывающая: $\exists n\in\mathbb N:\ x_{n+1}<x_n$ .

Теоремы

Теорем по этой теме в лекциях 1–2 нет. Теорема Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности — в теме 7 (л. 3–4).

Свойство не из лекций. Два определения ограниченности равносильны:
$\bigl(\exists m,M\in R\ \forall n:\ m\le x_n\le M\bigr)\iff\bigl(\exists M_0\in R\ \forall n:\ |x_n|\le M_0\bigr).$

Доказательство не из лекций

Опирается только на определения 5 и свойства модуля.

$(\Rightarrow)$ Положим $M_0=\max(|m|,|M|)$ . Тогда $-M_0\le-|m|\le m\le x_n\le M\le|M|\le M_0$ , т. е. $|x_n|\le M_0$ $\forall n$ .

$(\Leftarrow)$ $|x_n|\le M_0\iff -M_0\le x_n\le M_0$ : берём $m=-M_0$ , $M=M_0$ .

Рабочие признаки не из лекций

Разность $\Delta_n=x_{n+1}-x_n$ : $\ \Delta_n>0\ \forall n$ — возрастающая; $\ \ge0$ — неубывающая; $\ <0$ — убывающая; $\ \le0$ — невозрастающая.
Отношение при $x_n>0\ \forall n$ : $\ \dfrac{x_{n+1}}{x_n}>1$ — возрастающая; $\ \ge1$ — неубывающая; $\ <1$ — убывающая; $\ \le1$ — невозрастающая.
Неубывающая последовательность ограничена снизу: $x_n\ge x_1$ . Невозрастающая ограничена сверху: $x_n\le x_1$ .
Постоянная последовательность одновременно неубывающая и невозрастающая, но не строго монотонная.
Неравенство треугольника для оценок: $|a+b|\le|a|+|b|$ .
Признаки монотонности функции через производную в лекциях пока не было — опираться на них нельзя.

Алгоритм: исследовать последовательность на монотонность и ограниченность

Выписать первые 3–4 члена, чтобы выдвинуть гипотезу (это не доказательство).
Составить $\Delta_n=x_{n+1}-x_n$ (или отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ при $x_n>0$ ), привести к общему знаменателю.
Определить знак $\Delta_n$ для всех $n\in\mathbb N$ и сделать вывод по определениям 1–4.
Если монотонности нет — предъявить два номера, где разность меняет знак.
Ограниченность: одну сторону даёт монотонность ( $x_1$ ), другую — оценка выражения ( $x_n<\dots$ ).
Неограниченность: по отрицанию — для произвольного $M>0$ явно указать $n$ (через $M$ ) с $|x_n|>M$ .

Разобранные примеры

Пример 1. Исследовать $x_n=\dfrac{n}{n+1}$ .

Решение

$\Delta_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0\quad\forall n\in\mathbb N$ — последовательность возрастающая (строго монотонная).

Снизу: $x_n\ge x_1=\frac12$ (возрастает). Сверху: $x_n=1-\dfrac1{n+1}<1$ .

Итого $\dfrac12\le x_n<1$ $\forall n$ — ограничена.

Пример 2. Исследовать $x_n=(-1)^n n$ .

Решение

$x_1=-1,\ x_2=2,\ x_3=-3$ : $x_2>x_1$ , но $x_3<x_2$ — не монотонна.

Неограниченность по отрицанию: $\forall M>0$ возьмём $n=[M]+1$ . Тогда $|x_n|=n=[M]+1>M$ . Значит, не ограничена.

Типичные ошибки

Делать вывод о монотонности по нескольким первым членам — знак $\Delta_n$ нужен для всех $n$ .
Путать «возрастающая» ( $>$ , строго) и «неубывающая» ( $\ge$ ).
Считать постоянную последовательность немонотонной: она монотонна (неубывающая и невозрастающая).
Брать в ограниченности $M$ , зависящее от $n$ : $M$ одно на все $n$ (квантор $\exists M$ стоит перед $\forall n$ ).
В отрицании ограниченности фиксировать $M$ : нужно показать для любого $M$ .

Прочитано