РК1›Список вопросов РК

Список вопросов РК

Текст файла «Вопросы для подготовки». Кликабельны 66 пунктов из 66. Числа в квадратных скобках — номера лекций по календарному плану (как в файле).
Математический анализ, 1-й семестр, ИУ, РЛ (кроме ИУ9), ПС, РТ (2026-27 уч.г.)Рубежный контроль 1
Вопросы для подготовки

Теоретические вопросы (определения)1

  1. 1.(1 балл) Сформулируйте определение окрестности точки x∈Rx\in R [2].
  2. 2.(1 балл) Сформулируйте определение ε\varepsilon-окрестности точки x∈Rx\in R [2].
  3. 3.(1 балл) Сформулируйте определение окрестности +∞+\infty [2].
  4. 4.(1 балл) Сформулируйте определение окрестности −∞-\infty [2].
  5. 5.(1 балл) Сформулируйте определение окрестности ∞\infty [2].
  6. 6.(1 балл) Сформулируйте определение предела последовательности [4].
  7. 7.(1 балл) Сформулируйте определение сходящейся последовательности [4].
  8. 8.(1 балл) Сформулируйте определение ограниченной последовательности [4].
  9. 9.(1 балл) Сформулируйте определение монотонной последовательности [3,4].
  10. 10.(1 балл) Сформулируйте определение возрастающей последовательности [3,4].
  11. 11.(1 балл) Сформулируйте определение убывающей последовательности [3,4].
  12. 12.(1 балл) Сформулируйте определение невозрастающей последовательности [3,4].
  13. 13.(1 балл) Сформулируйте определение неубывающей последовательности [3,4].
  14. 14.(1 балл) Сформулируйте определение фундаментальной последовательности [4].
  15. 15.(1 балл) Сформулируйте критерий Коши существования предела последовательности [4].
  16. 16.(1 балл) Сформулируйте определение по Гейне предела функции [5].
  17. 17.(1 балл) Сформулируйте определение бесконечно малой функции [7].
  18. 18.(1 балл) Сформулируйте определение бесконечно большой функции [7].
  19. 19.(1 балл) Сформулируйте определение бесконечно малых функций одного порядка [8].
  20. 20.(1 балл) Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций [8].
  21. 21.(1 балл) Сформулируйте определение эквивалентных бесконечно малых функций [8].
  22. 22.(1 балл) Сформулируйте определение порядка малости одной функции относительно другой [8].
  23. 23.(1 балл) Сформулируйте определение приращения функции [9].
  24. 24.(1 балл) Сформулируйте определение непрерывности функции в точке (любое) [9].
  25. 25.(1 балл) Сформулируйте определение непрерывности функции на интервале [9].
  26. 26.(1 балл) Сформулируйте определение непрерывности функции на отрезке [9].
  27. 27.(1 балл) Сформулируйте определение точки разрыва [9].
  28. 28.(1 балл) Сформулируйте определение точки устранимого разрыва [9].
  29. 29.(1 балл) Сформулируйте определение точки разрыва I рода [9].
  30. 30.(1 балл) Сформулируйте определение точки разрыва II рода [9].

1В квадратных скобках указаны номера лекций по календарному плану, см. также Иванков П.Л. Математический анализ. Конспект лекций. Электронный ресурс. Режим доступа: http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/lecture-notes-fs-12 (дата обращения 01.09.2020).

Теоретические вопросы (определение предела по Коши)2

  1. 1.(2 балла) Сформулируйте определение по Коши lim⁡x→0f(x)=b\lim\limits_{x\to0}f(x)=b, где b∈Rb\in R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией) [5].
  2. 2.(2 балла) Сформулируйте определение по Коши lim⁡x→af(x)=+∞\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty, где a∈Ra\in R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией) [5].
  3. 3.(2 балла) Сформулируйте определение по Коши lim⁡x→∞f(x)=0\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией) [5].
  4. 4.(2 балла) Сформулируйте определение по Коши lim⁡x→a−0f(x)=−∞\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=-\infty, где a∈Ra\in R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией) [6].

2Приведены не все вопросы. Остальные имеют аналогичную формулировку.

Теоретические вопросы (формулировки теорем)

  1. 1.(1 балл) Сформулируйте теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательности. [4]
  2. 2.(1 балл) Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой. [7]
  3. 3.(1 балл) Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций. [7]
  4. 4.(1 балл) Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию. [7]
  5. 5.(1 балл) Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций. [7]
  6. 6.(1 балл) Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых. [8]
  7. 7.(1 балл) Сформулируйте теорему о сумме бесконечно малых разных порядков. [8]

Задачи для подготовки

1. Вычислите предел:

  1. 1.1.lim⁡x→1x3+4x2+x−6x3+3x2−4\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3+4x^2+x-6}{x^3+3x^2-4}
  2. 1.2.lim⁡x→−3x3−7x+6x3+7x2+15x+9\lim\limits_{x\to-3}\dfrac{x^3-7x+6}{x^3+7x^2+15x+9}
  3. 1.3.lim⁡x→+∞x(x+3−x−2)\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}\right)
  4. 1.4.lim⁡x→+∞(x(x+3)−x2+1)\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x(x+3)}-\sqrt{x^2+1}\right)
  5. 1.5.lim⁡x→01+xtg⁡x3−12x2−1\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x\operatorname{tg}x}-1}{2^{x^2}-1}
  6. 1.6.lim⁡x→0ex−e2x4−x−2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{2x}}{\sqrt{4-x}-2}
  7. 1.7.lim⁡x→0ln⁡cos⁡2xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln\cos2x}{x^2}
  8. 1.8.lim⁡x→π1+cos⁡x(π−x)sin⁡x\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(\pi-x)\sin x}
  9. 1.9.lim⁡x→0tg⁡2x−sin⁡2x2x3−1\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\operatorname{tg}2x-\sin2x}{2^{x^3}-1}
  10. 1.10.lim⁡x→∞(x+5x−1)3x+2\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+5}{x-1}\right)^{3x+2}
  11. 1.11.lim⁡x→0(tg⁡xsin⁡x)1/sin⁡2x\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\operatorname{tg}x}{\sin x}\right)^{1/\sin^2x}
  12. 1.12.lim⁡x→0(cos⁡x)1/tg⁡x2\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{1/\operatorname{tg}x^2}
  13. 1.13.lim⁡x→+∞x(ln⁡(1+x)−ln⁡x)\lim\limits_{x\to+\infty}x\bigl(\ln(1+x)-\ln x\bigr)
  14. 1.14.lim⁡x→∞ln⁡(1+x2)lg⁡(10+x4)\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln(1+x^2)}{\lg(10+x^4)}

2. Для функций f(x)f(x) и g(x)g(x): а) покажите, что каждая из функций является бесконечно малой или бесконечно большой при заданном стремлении аргумента; б) для каждой функции запишите главную часть (эквивалентную ей функцию вида C(x−x0)αC(x-x_0)^\alpha при x→x0x\to x_0 или CxαCx^\alpha при x→∞x\to\infty), укажите их порядки малости (роста); в) сравните функции, если это возможно.

  1. 2.1.f(x)=x7sin⁡1x+xcos⁡xf(x)=x^7\sin\dfrac1x+x\cos x,  g(x)=x3arctg⁡1x\ g(x)=x^3\operatorname{arctg}\dfrac1x, x→∞x\to\infty
  2. 2.2.f(x)=xln⁡(1+x)f(x)=x\ln(1+x),  g(x)=e2x−ex\ g(x)=e^{2x}-e^x, x→0x\to0
  3. 2.3.f(x)=1+cos⁡xf(x)=1+\cos x,  g(x)=(x−π)2x−3,14\ g(x)=\dfrac{(x-\pi)^2}{x-3{,}14}, x→πx\to\pi

3. Исследуйте на непрерывность заданную функцию. Укажите точки разрыва, их характер, постройте график функции в окрестностях точек разрыва.

  1. 3.1.f(x)={cos⁡1x,∣x∣<π;e1/(x2−π2),∣x∣≥π.f(x)=\begin{cases}\cos\dfrac1x,&|x|<\pi;\\ e^{1/(x^2-\pi^2)},&|x|\ge\pi.\end{cases}
  2. 3.2.f(x)={sin⁡xx,x<0;arctg⁡ππ−x,x≥0.f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}x,&x<0;\\ \operatorname{arctg}\dfrac\pi{\pi-x},&x\ge0.\end{cases}

Типовой вариант билета по теории

  1. 1.(1 балл) Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
  2. 2.(2 балла) Сформулируйте определение по Коши lim⁡x→af(x)=∞\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty, где a∈Ra\in R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
  3. 3.(1 балл) Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций.

min: 2 балла, max: 4 балла

Типовой вариант билета по задачам

  1. 1.(3 балла) Вычислите предел lim⁡x→+∞2x−x−1x−3\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x-1}}{\sqrt x-3}.
  2. 2.(3 балла) Вычислите предел lim⁡x→0x(1−x23−1)arccos⁡x(2x−1)arctg⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\left(\sqrt[3]{1-x^2}-1\right)\arccos x}{(2^x-1)\operatorname{arctg}x}.
  3. 3.(3 балла) Вычислите предел lim⁡x→0(1+arcsin⁡2x)1ln⁡(1+x2)\lim\limits_{x\to0}\left(1+\arcsin^2x\right)^{\frac1{\ln(1+x^2)}}.