РК1›Тема 13. Арифметика пределов

13. Арифметика пределов

л. 5

Теоремы

Везде: lim⁡x→x0f(x)=a\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a,  lim⁡x→x0g(x)=b\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=b — конечные.

Теорема 1 (предел суммы/разности). Существуют конечные пределы функций f(x)±g(x)f(x)\pm g(x) и
lim⁡x→x0(f(x)±g(x))=lim⁡x→x0f(x)±lim⁡x→x0g(x)=a±b.\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim_{x\to x_0}f(x)\pm\lim_{x\to x_0}g(x)=a\pm b.

Теорема 2 (константу можно выносить за знак предела). Существуют конечные пределы k⋅f(x)k\cdot f(x), k⋅g(x)k\cdot g(x) и
lim⁡x→x0(k⋅f(x))=k⋅lim⁡x→x0f(x)=k⋅a,k∈R.\lim_{x\to x_0}\bigl(k\cdot f(x)\bigr)=k\cdot\lim_{x\to x_0}f(x)=k\cdot a,\quad k\in R.

Теорема 3 (предел произведения). Существует конечный предел f(x)⋅g(x)f(x)\cdot g(x) и
lim⁡x→x0f(x)⋅g(x)=lim⁡x→x0f(x)⋅lim⁡x→x0g(x)=a⋅b.\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x)=a\cdot b.

Теорема 4 (предел отношения). Если дополнительно b≠0b\ne0, то существует конечный предел f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)} и
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f(x)lim⁡x→x0g(x)=ab.\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}=\frac ab.

Условие применимости: оба предела существуют и конечны (и b≠0b\ne0 для частного). Если это не так — теоремы молчат, это не значит, что предела нет.

Схема всех четырёх доказательств (как у лектора)

  1. По теореме 3 темы 12 (связь функции, предела и б.м.ф.): f(x)=a+α(x)f(x)=a+\alpha(x), g(x)=b+β(x)g(x)=b+\beta(x), α,β\alpha,\beta — б.м.ф.
  2. Рассмотреть разность «выражение минус ожидаемый предел» и подставить.
  3. Показать, что разность — б.м.ф., по свойствам б.м.ф. (тема 12).
  4. По теореме 3 темы 12 (достаточность) — получаем предел.

Ссылки в слайдах сбиты (сл. 29, 30, 35, 44, 50): «по следствию 1 из теоремы 3» (про сумму б.м.), «по следствию 2 из теоремы 3» (про k⋅βk\cdot\beta), «по теореме 1 получаем» (в конце). Правильная привязка — к свойствам темы 12: сумма б.м. — теорема 1; k⋅βk\cdot\beta — следствие 2 из теоремы 2; α⋅β\alpha\cdot\beta — следствие 1 из теоремы 2; финальный переход «разность — б.м. ⇒\Rightarrow предел» — теорема 3 (связь функции, предела и б.м.ф.). На РК называть свойство словами («как сумма двух б.м.ф.»), а не номером.

Доказательства

Теорема 1 (сл. 26–31)

По теореме о связи функции, её предела и б.м.ф.: f(x)=a+α(x)f(x)=a+\alpha(x), g(x)=b+β(x)g(x)=b+\beta(x), α(x),β(x)\alpha(x),\beta(x) — б.м.ф. при x→x0x\to x_0.

Рассмотрим выражения (f(x)+g(x))−(a+b)(f(x)+g(x))-(a+b) и (f(x)−g(x))−(a−b)(f(x)-g(x))-(a-b). Подставляем:
(f(x)+g(x))−(a+b)=((a+α(x))+(b+β(x)))−(a+b)=α(x)+β(x),(f(x)+g(x))-(a+b)=\bigl((a+\alpha(x))+(b+\beta(x))\bigr)-(a+b)=\alpha(x)+\beta(x),
(f(x)−g(x))−(a−b)=((a+α(x))−(b+β(x)))−(a−b)=α(x)−β(x).(f(x)-g(x))-(a-b)=\bigl((a+\alpha(x))-(b+\beta(x))\bigr)-(a-b)=\alpha(x)-\beta(x).
α(x)±β(x)\alpha(x)\pm\beta(x) — б.м.ф. при x→x0x\to x_0 как сумма конечного числа б.м.ф. (для разности: −β=(−1)⋅β-\beta=(-1)\cdot\beta — б.м. по следствию 2). Значит, (f±g)−(a±b)(f\pm g)-(a\pm b) — б.м.ф.:
lim⁡x→x0(f(x)±g(x)−(a±b))=0  ⟺  def∀ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀x∈S∘δ(x0)⇒∣(f(x)±g(x))−(a±b)∣<ε.\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)-(a\pm b)\bigr)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|(f(x)\pm g(x))-(a\pm b)|<\varepsilon.
С другой стороны, это означает lim⁡x→x0(f(x)±g(x))=a±b=lim⁡x→x0f(x)±lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=a\pm b=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0}g(x). Теорема доказана.

Теорема 2 (сл. 32–37)

f(x)=a+α(x)f(x)=a+\alpha(x), g(x)=b+β(x)g(x)=b+\beta(x). Рассмотрим:
k⋅g(x)−k⋅b=k⋅(b+β(x))−k⋅b=k⋅β(x),k⋅f(x)−k⋅a=k⋅α(x).k\cdot g(x)-k\cdot b=k\cdot(b+\beta(x))-k\cdot b=k\cdot\beta(x),\qquad k\cdot f(x)-k\cdot a=k\cdot\alpha(x).
k⋅β(x)k\cdot\beta(x), k⋅α(x)k\cdot\alpha(x) — б.м.ф. как произведение постоянной на б.м.ф. Значит,
lim⁡x→x0(k⋅g(x)−k⋅b)=0  ⟺  ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀x∈S∘δ(x0)⇒∣k⋅g(x)−k⋅b∣<ε,\lim_{x\to x_0}(k\cdot g(x)-k\cdot b)=0\iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|k\cdot g(x)-k\cdot b|<\varepsilon,
т. е. lim⁡x→x0(k⋅g(x))=k⋅b=k⋅lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}(k\cdot g(x))=k\cdot b=k\cdot\lim\limits_{x\to x_0}g(x); аналогично для ff. Теорема доказана.

Теорема 3 (сл. 38–45)

f(x)=a+α(x)f(x)=a+\alpha(x), g(x)=b+β(x)g(x)=b+\beta(x). Рассмотрим f(x)⋅g(x)−a⋅bf(x)\cdot g(x)-a\cdot b:
f(x)⋅g(x)−a⋅b=(a+α(x))(b+β(x))−a⋅b=a⋅b+a⋅β(x)+b⋅α(x)+α(x)⋅β(x)−a⋅bf(x)\cdot g(x)-a\cdot b=(a+\alpha(x))(b+\beta(x))-a\cdot b=a\cdot b+a\cdot\beta(x)+b\cdot\alpha(x)+\alpha(x)\cdot\beta(x)-a\cdot b
=a⋅β(x)+b⋅α(x)+α(x)⋅β(x).=a\cdot\beta(x)+b\cdot\alpha(x)+\alpha(x)\cdot\beta(x).
a⋅β(x)a\cdot\beta(x), b⋅α(x)b\cdot\alpha(x) — б.м.ф. как произведения постоянных на б.м.ф.; α(x)⋅β(x)\alpha(x)\cdot\beta(x) — б.м.ф. как произведение двух б.м.ф. Сумма трёх б.м.ф. — б.м.ф. Значит,
lim⁡x→x0(f(x)⋅g(x)−a⋅b)=0  ⟺  ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀x∈S∘δ(x0)⇒∣f(x)⋅g(x)−a⋅b∣<ε,\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x)-a\cdot b)=0\iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)\cdot g(x)-a\cdot b|<\varepsilon,
т. е. lim⁡x→x0f(x)⋅g(x)=a⋅b=lim⁡x→x0f(x)⋅lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=a\cdot b=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to x_0}g(x). Теорема доказана.

Теорема 4 (сл. 46–51) и пропущенный шаг

f(x)=a+α(x)f(x)=a+\alpha(x), g(x)=b+β(x)g(x)=b+\beta(x), b≠0b\ne0. Рассмотрим f(x)g(x)−ab\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac ab:
f(x)g(x)−ab=a+α(x)b+β(x)−ab=b(a+α(x))−a(b+β(x))b(b+β(x))=ab+bα(x)−ab−aβ(x)b(b+β(x))\frac{f(x)}{g(x)}-\frac ab=\frac{a+\alpha(x)}{b+\beta(x)}-\frac ab=\frac{b(a+\alpha(x))-a(b+\beta(x))}{b(b+\beta(x))}=\frac{ab+b\alpha(x)-ab-a\beta(x)}{b(b+\beta(x))}
=b⋅α(x)−a⋅β(x)b2+b⋅β(x)=1b2+b⋅β(x)⋅(b⋅α(x)−a⋅β(x)).=\frac{b\cdot\alpha(x)-a\cdot\beta(x)}{b^2+b\cdot\beta(x)}=\frac1{b^2+b\cdot\beta(x)}\cdot\bigl(b\cdot\alpha(x)-a\cdot\beta(x)\bigr).
b⋅α(x)b\cdot\alpha(x), a⋅β(x)a\cdot\beta(x) — б.м.ф. как произведения постоянных на б.м.ф.; их разность — б.м.ф.

Шаг, которого нет в слайдах не из лекций: множитель 1b2+bβ(x)\dfrac1{b^2+b\beta(x)} локально ограничен. Действительно, b2+bβ(x)→b2>0b^2+b\beta(x)\to b^2>0, и по теореме о сохранении знака (тема 11, с ε=b22\varepsilon=\frac{b^2}2) в некоторой S∘(x0)\overset{\circ}{S}(x_0):
b2+bβ(x)>b22>0 ⇒ 0<1b2+bβ(x)<2b2.b^2+b\beta(x)>\frac{b^2}2>0\ \Rightarrow\ 0<\frac1{b^2+b\beta(x)}<\frac2{b^2}.
Заодно g(x)=b+β(x)≠0g(x)=b+\beta(x)\ne0 там же, т. е. частное fg\frac fg определено около x0x_0.

Тогда fg−ab\frac fg-\frac ab — б.м.ф. как произведение б.м.ф. на локально ограниченную (теорема 2 темы 12):
lim⁡x→x0(f(x)g(x)−ab)=0  ⟺  ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀x∈S∘δ(x0)⇒∣f(x)g(x)−ab∣<ε,\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac ab\right)=0\iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac ab\right|<\varepsilon,
т. е. lim⁡x→x0f(x)g(x)=ab=lim⁡f(x)lim⁡g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac ab=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}. Теорема доказана.

В слайде 50 вместо этого шага: «b⋅αb\cdot\alpha, a⋅βa\cdot\beta, b⋅βb\cdot\beta — б.м.ф.… По теореме 1 получаем, что fg−ab\frac fg-\frac ab — б.м.ф.». То, что bβb\beta — б.м., ещё не даёт ограниченности дроби 1b2+bβ\frac1{b^2+b\beta}. На РК — написать шаг с сохранением знака.

Следствия для вычислений не из лекций, прямо из теорем 1–4

  • lim⁡x→x0c=c\lim\limits_{x\to x_0}c=c,  lim⁡x→x0x=x0\ \lim\limits_{x\to x_0}x=x_0 (по определению: δ=ε\delta=\varepsilon).
  • Многочлен: lim⁡x→x0P(x)=P(x0)\lim\limits_{x\to x_0}P(x)=P(x_0) (теоремы 1–3 многократно).
  • Рациональная функция: lim⁡x→x0P(x)Q(x)=P(x0)Q(x0)\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)} при Q(x0)≠0Q(x_0)\ne0 (теорема 4).
  • lim⁡x→x0(f(x))n=an\lim\limits_{x\to x_0}(f(x))^n=a^n, n∈Nn\in\mathbb N (теорема 3).
  • Сокращение: если f(x)=g(x)f(x)=g(x) ∀x∈S∘(x0)\forall x\in\overset{\circ}{S}(x_0), то lim⁡f=lim⁡g\lim f=\lim g (прямо из определения Коши: значение в самой x0x_0 не участвует). Поэтому множитель (x−x0)(x-x_0) можно сокращать.

Арифметика пределов последовательностей не из лекций

Для последовательностей с lim⁡xn=a\lim x_n=a, lim⁡yn=b\lim y_n=b (конечными) верно то же самое:
lim⁡(xn±yn)=a±b,lim⁡(k xn)=k a,lim⁡(xnyn)=ab,lim⁡xnyn=ab (b≠0).\lim(x_n\pm y_n)=a\pm b,\quad\lim(k\,x_n)=k\,a,\quad\lim(x_n y_n)=ab,\quad\lim\frac{x_n}{y_n}=\frac ab\ (b\ne0).
Обоснование. Те же доказательства дословно: «б.м. последовательность» (lim⁡αn=0\lim\alpha_n=0), свойства суммы и произведения на ограниченную, связь xn=a+αnx_n=a+\alpha_n; вместо δ\delta — номер n(ε)n(\varepsilon), вместо min⁡(δ1,δ2)\min(\delta_1,\delta_2) — max⁡(n1,n2)\max(n_1,n_2). Через Гейне: последовательность — функция натурального аргумента, n→+∞n\to+\infty — частный случай предела на бесконечности.

Нужна в темах 7 (рекуррентный предел), 8a (число ee), 9 (пример с cos⁡2πn\cos 2\pi n).

Разобранные примеры

Сводная схема «с чего начать» — в разделе «Дан предел: с чего начать». Здесь — примеры приёмов, обоснованных теоремами 1–4.

Пример 1 (прямая подстановка). lim⁡x→1x2+2x−1x+3\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+2x-1}{x+3}.

Решение

Знаменатель: lim⁡x→1(x+3)=4≠0\lim\limits_{x\to1}(x+3)=4\ne0 — теорема 4 применима. Числитель: 1+2−1=21+2-1=2. Ответ: 24=12\frac24=\frac12.

Пример 2 (00\frac00, многочлены — разложить и сократить). lim⁡x→2x2−4x2−3x+2\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}.

Решение

Подстановка: 00\frac{0}{0} — теорема 4 неприменима (b=0b=0). Раскладываем:
x2−4x2−3x+2=(x−2)(x+2)(x−2)(x−1)=x+2x−1при x≠2.\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1}\quad\text{при }x\ne2.
По «сокращению» пределы равны; знаменатель теперь →1≠0\to1\ne0:
lim⁡x→2x+2x−1=41=4.\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x-1}=\frac41=4.

Пример 3 (∞∞\frac\infty\infty — делить на старшую степень). lim⁡x→∞3x2−x+12x2+5\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-x+1}{2x^2+5}.

Решение

Делим числитель и знаменатель на x2x^2:
lim⁡x→∞3−1x+1x22+5x2=3−0+02+0=32.\lim_{x\to\infty}\frac{3-\frac1x+\frac1{x^2}}{2+\frac5{x^2}}=\frac{3-0+0}{2+0}=\frac32.
Теперь все пределы конечны (1xk→0\frac1{x^k}\to0 при x→∞x\to\infty), знаменатель →2≠0\to2\ne0 — теоремы 1–4 применимы.

Для сравнения: lim⁡x→∞x+1x2+1=0\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+1}{x^2+1}=0 (степень числителя меньше), lim⁡x→∞x3x2+1=∞\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^2+1}=\infty (больше).

Пример 4 (00\frac00 с корнем — сопряжённое). lim⁡x→01+x−1x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}.

Решение

1+x−1x=(1+x−1)(1+x+1)x(1+x+1)=xx(1+x+1)=11+x+1.\frac{\sqrt{1+x}-1}x=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac1{\sqrt{1+x}+1}.
lim⁡x→011+x+1=11+1=12.\lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{1+x}+1}=\frac1{1+1}=\frac12.
(Предел 1+x→1\sqrt{1+x}\to1 — непрерывность корня, тема 27; на практике — подстановка. Позже — эквивалентность 1+x−1∼x2\sqrt{1+x}-1\sim\frac x2, тема 22.)

Пример 5 (∞−∞\infty-\infty с корнем — сопряжённое). lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).

Решение

x2+x−x=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+x=11+1x+1(x>0).\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\quad(x>0).
lim⁡x→+∞11+1x+1=11+1=12.\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}=\frac1{1+1}=\frac12.

Пример 6 (∞−∞\infty-\infty с дробями — общий знаменатель). lim⁡x→1(11−x−31−x3)\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{1-x}-\dfrac3{1-x^3}\right).

Решение

1−x3=(1−x)(1+x+x2)1-x^3=(1-x)(1+x+x^2):
1+x+x2−3(1−x)(1+x+x2)=x2+x−2(1−x)(1+x+x2)=(x−1)(x+2)(1−x)(1+x+x2)=−x+21+x+x2.\frac{1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}=-\frac{x+2}{1+x+x^2}.
lim⁡x→1(−x+21+x+x2)=−33=−1.\lim_{x\to1}\left(-\frac{x+2}{1+x+x^2}\right)=-\frac33=-1.

Типичные ошибки

  • Применять теорему 4, когда предел знаменателя равен 00, или теорему 1 к ∞−∞\infty-\infty: теоремы работают только для конечных пределов.
  • Писать lim⁡fg=lim⁡flim⁡g\lim\frac fg=\frac{\lim f}{\lim g} при 00\frac00 и заключать, что предела нет.
  • Сокращать на (x−x0)(x-x_0) без пояснения, что x≠x0x\ne x_0 (точка выколота).
  • В x2+x−x\sqrt{x^2+x}-x при x→−∞x\to-\infty выносить xx из-под корня без модуля: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|.
  • Ссылаться на свойства б.м. по номерам со слайдов (они сбиты) — называть словами.