Справочник: логика, множества, промежутки

Логика

Высказывание — повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Истинное — $1$, ложное — $0$.

Логические операции (бинарные — связывают два высказывания):

Унарная операция: отрицание, «не». В слайде символ — черта «–»; записываем $\overline{A}$.

Таблица истинности не из лекций:

Кванторы — логические операции, ограничивающие область истинности высказывания:

Отрицания не из лекций:

• $\overline{\forall x\ P(x)} \iff \exists x\ \overline{P(x)}$
• $\overline{\exists x\ P(x)} \iff \forall x\ \overline{P(x)}$
• $\overline{A\wedge B}\iff \overline A\vee\overline B$, $\quad \overline{A\vee B}\iff \overline A\wedge\overline B$
• $\overline{A\Rightarrow B}\iff A\wedge\overline B$

Правило отрицания определения в кванторах не из лекций: каждый $\forall$ заменить на $\exists$ и наоборот, условия после двоеточия сохранить, итоговое неравенство заменить противоположным ($<$ на $\ge$, $>$ на $\le$).

Пример:
$$\lim_{n\to+\infty}x_n=a \overset{def}{\iff} \forall\varepsilon>0\ \exists n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \forall n>n(\varepsilon)\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon,$$
$$\lim_{n\to+\infty}x_n\ne a \iff \exists\varepsilon>0\ \forall n(\varepsilon)\in\mathbb N\ \exists n>n(\varepsilon):\ |x_n-a|\ge\varepsilon.$$

Множества

Множество — совокупность объектов, связанных между собой каким-либо свойством. Множества обозначаются $A,B,C,\dots$, элементы $a,b,c,\dots$; принадлежит — $\in$, не принадлежит — $\notin$.

Операции:

• Пересечение: $C=A\cap B=\{c:\ c\in A\wedge c\in B\}$ — элементы, принадлежащие одновременно $A$ и $B$.
• Объединение: $C=A\cup B=\{c:\ c\in A\vee c\in B\}$ — элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
• Разность: $C=A\setminus B=\{c:\ c\in A\wedge c\notin B\}$.

Графические изображения множеств — диаграммы Эйлера–Венна.

Способы задания:

1. Перечислением: $A=\{a_1,\dots,a_n\}$, $\ \mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$.
2. Указанием свойства: $A=\{x:\ P(x)\}$, $\ \Theta=\left\{\dfrac mn:\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}$.

Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента.

Подмножество: $A$ — подмножество $B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$. Включение строгое — $\subset$, нестрогое (допускает равенство) — $\subseteq$.

Универсальное множество $U$ — множество, подмножествами которого являются все рассматриваемые множества.

Равные множества состоят из одних и тех же элементов: $\{1,3,5\}=\{5,1,3\}$.

$\varnothing\subset A$ для любого $A$; $\ A\subseteq A$.

Числовые множества и промежутки

$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\Theta$.

Числовая ось — прямая, на которой указаны начало отсчёта, масштаб и направление; $R=(-\infty,+\infty)$.

Числовое множество — любое подмножество $R$.

Промежуток — подмножество $X\subseteq R$ такое, что $\forall x_1,x_2\in X$ ему принадлежат и все $x$ с $x_1<x<x_2$.