17. Определения пределов в кванторах (таблицы)

Лектор даёт 6 таблиц (по $A\in\{x_0,\ x_0+,\ x_0-,\ \infty,\ +\infty,\ -\infty\}$), в каждой 6 строк: $a,\ b,\ 0,\ \infty,\ -\infty,\ +\infty$. Строка $b$ в слайдах повторяет строку $a$ с другой буквой (любое конечное число), поэтому ниже она не дублируется. Строка $0$ — частный случай $a=0$ (б.м.ф.), оставлена.

Шаблон отрицания (для всех случаев): $\forall\to\exists$, $\exists\to\forall$, условие на $x$ сохраняется, неравенство для $f$ заменяется противоположным:
$$\lim_{x\to A}f(x)\ne B\iff\exists\,[\varepsilon\text{ или }M]>0\ \ \forall\,[\delta\text{ или }N]>0\ \ \exists x:\ [\text{условие на }x]\ \wedge\ [\text{отрицание неравенства для }f].$$

1. $x\to x_0$ (сл. 29)

Определения (Коши):
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|>M$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)>M$$
где $x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\iff0<|x-x_0|<\delta$.

Отрицания не из лекций:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne a\iff\exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ |f(x)-a|\ge\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne0\iff\exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ |f(x)|\ge\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne\infty\iff\exists M>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ |f(x)|\le M$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne-\infty\iff\exists M>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ f(x)\ge-M$$
$$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne+\infty\iff\exists M>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0):\ f(x)\le M$$

2. $x\to x_0+$ (сл. 30)

$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|>M$$
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)>M$$
где $x\in\overset{\circ}{S}{}^+_\delta(x_0)\iff0<x-x_0<\delta$.

Отрицания: $\exists[\varepsilon|M]>0\ \forall\delta>0\ \exists x:\ 0<x-x_0<\delta\ \wedge$ [отрицание неравенства по таблице]. Например:
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)\ne a\iff\exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x:\ 0<x-x_0<\delta,\ |f(x)-a|\ge\varepsilon.$$

3. $x\to x_0-$ (сл. 31)

$$\lim_{x\to x_0-}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0-}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|>M$$
$$\lim_{x\to x_0-}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to x_0-}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\Rightarrow f(x)>M$$
где $x\in\overset{\circ}{S}{}^-_\delta(x_0)\iff0<x_0-x<\delta$.

Отрицания: $\exists[\varepsilon|M]>0\ \forall\delta>0\ \exists x:\ 0<x_0-x<\delta\ \wedge$ [отрицание неравенства]. Например:
$$\lim_{x\to x_0-}f(x)\ne+\infty\iff\exists M>0\ \forall\delta>0\ \exists x:\ 0<x_0-x<\delta,\ f(x)\le M.$$

4. $x\to\infty$ (сл. 32)

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow|f(x)|>M\quad\text{(в слайде }\delta(M))$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ |x|>N\Rightarrow f(x)>M$$

Отрицания: $\exists[\varepsilon|M]>0\ \forall N>0\ \exists x:\ |x|>N\ \wedge$ [отрицание]. Например:
$$\lim_{x\to\infty}f(x)\ne a\iff\exists\varepsilon>0\ \forall N>0\ \exists x:\ |x|>N,\ |f(x)-a|\ge\varepsilon.$$

5. $x\to+\infty$ (сл. 33)

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ x>N\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ x>N\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x>N\Rightarrow|f(x)|>M$$
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x>N\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x>N\Rightarrow f(x)>M$$

Отрицания: $\exists[\varepsilon|M]>0\ \forall N>0\ \exists x:\ x>N\ \wedge$ [отрицание]. Например:
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)\ne+\infty\iff\exists M>0\ \forall N>0\ \exists x>N:\ f(x)\le M.$$

6. $x\to-\infty$ (сл. 34)

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=a\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ x<-N\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)>0:\ \forall x:\ x<-N\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon$$
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x<-N\Rightarrow|f(x)|>M$$
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x<-N\Rightarrow f(x)<-M$$
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\overset{def}{\iff}\forall M>0\ \exists N(M)>0:\ \forall x:\ x<-N\Rightarrow f(x)>M$$

Отрицания: $\exists[\varepsilon|M]>0\ \forall N>0\ \exists x:\ x<-N\ \wedge$ [отрицание]. Например:
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)\ne0\iff\exists\varepsilon>0\ \forall N>0\ \exists x<-N:\ |f(x)|\ge\varepsilon.$$

Определения по Гейне для всех случаев не из лекций — у лектора только случай $x\to x_0$, $B=a$

$$\lim_{x\to A}f(x)=B\iff\forall\{x_n\}\subset D_f,\ \text{удовлетворяющей условию }(A)\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=B.$$

$B$ — число, $\infty$, $+\infty$ или $-\infty$; «$f(x_n)\to B$» — в смысле предела последовательности (тема 6, включая бесконечные пределы).

Отрицание по Гейне:
$$\lim_{x\to A}f(x)\ne B\iff\exists\{x_n\}\subset D_f\ \text{с условием }(A):\ f(x_n)\not\to B.$$
Несуществование предела: две последовательности с условием $(A)$, на которых $f(x_n')\to B_1$, $f(x_n'')\to B_2$, $B_1\ne B_2$.

Алгоритм: как выписать нужное определение на РК

1. Определить $A$ (куда стремится $x$) → выбрать условие на $x$ и букву $\delta$ или $N$.
2. Определить $B$ (чему равен предел) → выбрать неравенство и букву $\varepsilon$ или $M$.
3. Собрать: $\forall[\varepsilon|M]>0\ \exists[\delta|N]([\varepsilon|M])>0:\ \forall x:\ [\text{условие}]\Rightarrow[\text{неравенство}]$.
4. Для отрицания: переставить кванторы, условие оставить, неравенство заменить противоположным.
5. Проверить, что параметр в скобках совпадает с внешней буквой: $\delta(\varepsilon)$, $\delta(M)$, $N(\varepsilon)$, $N(M)$.

Разобранные примеры (доказательство по определению)

Типичные ошибки

• Писать $\delta(M)$ при $x\to\infty$ (как в слайдах 32–34) — правильно $N(M)$.
• Путать роли букв: $\varepsilon,M$ — «точность» по $f$ (под $\forall$); $\delta,N$ — «окрестность» по $x$ (под $\exists$).
• В условии на $x$ для конечной точки забывать $0<$ (окрестность проколотая).
• В отрицании отрицать и условие на $x$: оно сохраняется, отрицается только неравенство для $f$.
• Для $B=\infty$ ставить $f(x)>M$ вместо $|f(x)|>M$.