25. Точки разрыва и их классификация

л. 9 · вопросы РК: A27, A28, A29, A30

Прочитано

РК: A27 (точка разрыва), A28 (устранимый), A29 (I рода), A30 (II рода); задача 3 и задача 5 варианта (исследование + график).

Нужное из темы 23 (непрерывность в точке)

$f$ непрерывна в точке $x_0$ , если существует конечный предел и $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ . Через односторонние (опр. 3 л. 9):
$\exists\lim_{x\to x_0+}f(x),\ \exists\lim_{x\to x_0-}f(x),\quad\lim_{x\to x_0+}f(x)=\lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$
Элементарные функции непрерывны в области определения (л. 9, теорема 2) — разрывы ищем только в точках, где функция не определена, и в точках склейки кусочной функции.

Определения (дословно по слайдам) и безопасные формулировки

Определение 1. Функцию $y=f(x)$ , не являющуюся непрерывной в точке $x_0$ , называют разрывной в этой точке, а саму точку $x_0$ — точкой разрыва функции $y=f(x)$ .

Уточнение не из лекций, безопасно на РК: при этом $f$ определена в некоторой проколотой окрестности $x_0$ (в самой $x_0$ может быть не определена).

Определение 2. Если существуют конечные пределы функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ , то $x_0$ — точка разрыва первого рода.

«Конечные пределы» здесь — односторонние. Безопасно на РК: « $x_0$ — точка разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ ».

Определение 3. Если $x_0$ — точка разрыва первого рода функции $y=f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)\ne\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ , то $x_0$ — точка конечного разрыва (точка скачка). При этом
$\Delta f=\left|\lim_{x\to x_0+}f(x)-\lim_{x\to x_0-}f(x)\right|\ \text{— скачок функции в точке }x_0.$

Определение 4. Если $x_0$ — точка разрыва первого рода функции $y=f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ , но значение функции в точке $x_0$ не существует, то $x_0$ — точка устранимого разрыва.

У лектора — только случай « $f(x_0)$ не определено». Стандартное (шире) не из лекций: односторонние пределы равны, но $f(x_0)$ не определено или $f(x_0)\ne\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ . Пример второго случая: $f(x)=\frac{\sin x}x$ при $x\ne0$ , $f(0)=5$ . На РК писать расширенный вариант — он включает лекторский.

Определение 5. Если хотя бы один из односторонних пределов $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ или $\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ не существует или равен бесконечности, то точка $x_0$ — точка разрыва второго рода.

Справочный блок: классификация

Односторонние пределы	$f(x_0)$	Вывод
оба конечны, равны, $=f(x_0)$	определено	непрерывна
оба конечны, равны	не определено или $\ne$ пределу	I рода, устранимый
оба конечны, различны	любое	I рода, скачок, $\Delta f=\lvert f(x_0+0)-f(x_0-0)\rvert$
хотя бы один бесконечен	любое	II рода (вертикальная асимптота)
хотя бы один не существует (колебания)	любое	II рода

Устранение (сл. 19): переопределить $f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ .

Примеры лектора (сл. 17–23)

Функция	$x_0$	$f(x_0+0)$	$f(x_0-0)$	Вывод
$\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}$	$1$	$1$	$-1$	I рода, скачок, $\Delta f=2$
$\frac{\sin x}x$	$0$	$1$	$1$	I рода, устранимый; $g(0)=1$
$\frac1x$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	II рода
$\frac1{x^2}$	$0$	$+\infty$	$+\infty$	II рода
$\sin\frac1x$	$0$	$\nexists$	$\nexists$	II рода
$e^{1/x}$	$0$	$+\infty$	$0$	II рода

Алгоритм исследования на непрерывность не из лекций

Найти $D_f$ . Выписать подозрительные точки: (а) точки, где не определено какое-либо выражение (знаменатель $=0$ , $\ln$ от $0$ , показатель $\frac1{0}$ ); (б) точки склейки кусочной функции; (в) граничные точки областей ( $|x|\ge\pi$ включает $x=\pm\pi$ — проверить, определена ли формула там!).
Вне подозрительных точек функция непрерывна как элементарная (л. 9, теорема 2) — так и написать.
В каждой подозрительной точке:
- посчитать $f(x_0)$ (или отметить, что не определено);
- посчитать $f(x_0-0)$ по той формуле, что действует слева, и $f(x_0+0)$ — по формуле справа;
- классифицировать по таблице.
Ответ: список точек разрыва с родом и типом; для скачка — $\Delta f$ ; для устранимого — чем доопределить.
График в окрестностях точек разрыва (алгоритм ниже).

Алгоритм построения графика в окрестности точки разрыва не из лекций

Цель — схематичный, но правильный эскиз: значения пределов, направление подхода, асимптоты.

Для каждой точки $x_0$ выписать: $f(x_0-0)$ , $f(x_0+0)$ , $f(x_0)$ .
Вертикальная асимптота: если какой-то односторонний предел $\pm\infty$ — провести пунктир $x=x_0$ ; ветвь с этой стороны уходит вверх ( $+\infty$ ) или вниз ( $-\infty$ ) вдоль пунктира.
Конечный предел $L$ : ветвь подходит к точке $(x_0,L)$ $(x_{0}, L)$ .
- Если $L$ не достигается функцией ( $f(x_0)\ne L$ или не определено) — выколотая точка (пустой кружок) в $(x_0,L)$ .
- Значение $f(x_0)$ , если определено, — закрашенная точка.
Направление подхода (сверху/снизу): определить знак $f(x)-L$ рядом с $x_0$ с нужной стороны (подставить точку $x_0\pm0{,}1$ или по эквивалентности). Например, $e^{1/x}\to0$ при $x\to0-$ сверху ( $e^{1/x}>0$ ), причём очень полого.
Колебания ( $\sin\frac1x$ , $\cos\frac1x$ при $x\to0$ ): нарисовать волну, сгущающуюся к $x_0$ , в полосе $[-1;1]$ (пунктирные линии $y=\pm1$ ).
Подписи: значения пределов на оси $y$ , $x_0$ на оси $x$ , асимптоты.
Окрестность берётся небольшая: по обе стороны от $x_0$ — участок, где поведение уже ясно; глобальный график не нужен.

Разобранные примеры

Пример 1. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-x}$ .

Решение

$D_f$ : $x\ne0$ , $x\ne1$ . $f=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}x$ при $x\ne1$ .
$x=1$ : $f(1\pm0)=2$ , $f(1)$ не определено — I рода, устранимый (доопределить $f(1)=2$ ).
$x=0$ : $f(0+0)=\frac1{0+}=+\infty$ , $f(0-0)=\frac1{0-}=-\infty$ — II рода.
График: в $x=1$ — выколотая точка $(1;2)$ на гиперболе $y=1+\frac1x$ ; в $x=0$ — асимптота, справа вверх, слева вниз.

Пример 2 (кусочная). $f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\ \cos x,&0\le x<\pi,\\ \frac1{x-\pi},&x\ge\pi\ (\text{при }x=\pi\text{ — ?}).\end{cases}$

Решение

Обратить внимание: при $x=\pi$ формула $\frac1{x-\pi}$ не определена — $f(\pi)$ не существует.
$x=0$ : $f(0-0)=1$ , $f(0+0)=\cos0=1$ , $f(0)=1$ — непрерывна.
$x=\pi$ : $f(\pi-0)=\cos\pi=-1$ , $f(\pi+0)=\frac1{0+}=+\infty$ — II рода.
График: в $x=0$ прямая плавно переходит в косинус; в $x=\pi$ слева ветвь подходит к выколотой точке $(\pi;-1)$ , справа — асимптота, ветвь уходит вверх.

Задачи 3.1, 3.2 и задача 5 варианта — в «Решениях РК».

Типичные ошибки

Проверять только точки склейки и пропускать нули знаменателей/логарифмов внутри куска (задача 5 варианта: $\ln(x+\frac12)=0$ при $x=\frac12$ ).
Не проверять, определена ли формула в самой граничной точке (задача 3.1: $e^{1/(x^2-\pi^2)}$ при $x=\pm\pi$ ).
Брать для левого предела формулу правого куска.
Называть устранимым разрыв, когда пределы равны бесконечности (это II род).
Путать «скачок» (пределы конечны и различны) с II родом.
На графике не отмечать выколотые точки и не рисовать асимптоты пунктиром.

Прочитано