26. Арифметика непрерывных функций, сложная функция

Пользуемся арифметическими свойствами функций, имеющих конечный предел (тема 13), и определением непрерывности в точке: $f\in C(x_0)\iff\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

1. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)=f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0).$
2. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x)=f(x_0)\cdot g(x_0)=(f\cdot g)(x_0).$
3. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}=\left(\frac fg\right)(x_0)$ при $g(x_0)\ne0$.

Теорема доказана.

Пояснения не из лекций: в п. 3 нужна определённость частного в окрестности $x_0$; она следует из теоремы 4 ниже ($g(x_0)\ne0$, $g$ непрерывна, значит $g\ne0$ в некоторой окрестности $x_0$). Предел в каждой строке существует и конечен, потому что пределы $f$ и $g$ конечны (условие теоремы о пределе суммы, произведения, частного).

Так как функция $g(y)$ непрерывна в точке $y_0$, по определению непрерывности
$$\lim_{y\to y_0}g(y)=g(y_0).$$
По условию существует конечный предел
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0.$$
По теореме о пределе сложной функции (тема 11, теорема 6) существует предел сложной функции $g(f(x))$ и
$$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(y_0).$$
Подставляем $y_0=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$:
$$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right).$$
Теорема доказана.

Строгое доказательство не из лекций. Пусть $\varepsilon>0$. Так как $g\in C(y_0)$, существует $\eta>0$ такое, что
$$|y-y_0|<\eta\ \Rightarrow\ |g(y)-g(y_0)|<\varepsilon$$
(окрестность непроколотая: при $y=y_0$ неравенство верно, $0<\varepsilon$). Так как $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$, для числа $\eta$ существует $\delta>0$ такое, что
$$0<|x-x_0|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-y_0|<\eta.$$
Подставляем $y=f(x)$: при $0<|x-x_0|<\delta$ получаем $|g(f(x))-g(y_0)|<\varepsilon$. Это и есть $\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(y_0)$.

Неопределённость $1^\infty$. Выделяем второй замечательный предел:
$$\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{\sin x}}=(1^\infty)=\lim_{x\to0}\left(1+(\cos x-1)\right)^{\frac1{\cos x-1}\cdot\frac{\cos x-1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left[\left(1+(\cos x-1)\right)^{\frac1{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{\sin x}}.$$
Внутренняя скобка стремится к $e$ (второй замечательный предел, $\cos x-1\to0$), показатель:
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}2}{x}=-\frac12\lim_{x\to0}x=0$$
(эквивалентности $\cos x-1\sim-\frac{x^2}2$, $\sin x\sim x$). Следовательно, предел равен $e^0=1$. Ответ: 1.

Как у лектора (сл. 31): $e^{\lim(\dots)}$, то есть предел показателя выносится под знак экспоненты; это допустимо, потому что $y\mapsto e^y$ непрерывна.

Так как $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, по определению
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$
По теореме 2 (применима, потому что $g\in C(y_0)$, $y_0=f(x_0)$, и $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=y_0$):
$$\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)=g(f(x_0))=F(x_0).$$
В итоге $\lim\limits_{x\to x_0}F(x)=F(x_0)$. Это и означает, что сложная функция $F(x)=g(f(x))$ непрерывна в точке $x_0$. Теорема доказана.

Так как функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, по определению
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$
По теореме о сохранении функцией знака своего предела (тема 11, теорема 3) существует окрестность точки $x_0$, в которой знак функции совпадает со знаком $f(x_0)$. Теорема доказана.

Пояснение не из лекций. Теорема о сохранении знака предела даёт проколотую окрестность. В самой точке $x_0$ знак совпадает с $f(x_0)$ тривиально, поэтому окрестность можно брать непроколотой.

Прямое доказательство не из лекций. Пусть $f(x_0)>0$ (случай $f(x_0)<0$ — применить к $-f$). Возьмём $\varepsilon=\frac{f(x_0)}2>0$. По определению непрерывности существует $\delta>0$: $|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, откуда $f(x)>f(x_0)-\varepsilon=\frac{f(x_0)}2>0$.