23. Непрерывность в точке, приращение

РК: A23 (приращение функции), A24 (непрерывность в точке — любое определение); нужна для задачи 3 и задачи 5 варианта.

Определения (дословно по слайдам)

Определение 1. Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если существует конечный предел функции в этой точке и выполнено равенство
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$
Обозначение: $f(x)\in C(x_0)$.

Определение 2 (на языке $\varepsilon,\delta$). Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ существует такое достаточно малое число $\delta$, что в $\delta$-окрестности точки $x_0$ выполнено неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in S_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$
Здесь окрестность непроколотая — это правильно: в точке $x_0$ неравенство выполняется само ($|f(x_0)-f(x_0)|=0$). В отличие от определения предела, функция обязана быть определена в $x_0$.

Определение 3 (через односторонние пределы). Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если

1. $\exists\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$;
2. $\exists\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$;
3. $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

Приращения (сл. 6). Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, $x\in S(x_0)$.

• $\Delta x=x-x_0$ — приращение аргумента;
• $\Delta y=y(x)-y(x_0)=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)$ — приращение функции в точке $x_0$.

Формулировка для РК (A23): пусть $f$ определена в окрестности точки $x_0$; приращением функции в точке $x_0$, соответствующим приращению аргумента $\Delta x$, называется $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.
В лекции это дано как «обозначение», без слова «определение».

Определение 4 (через приращения). Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции:
$$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0.$$

Все четыре определения равносильны [пояснение не из лекций]: опр. 2 — запись опр. 1 в кванторах; опр. 3 — опр. 1 + теорема о связи двустороннего предела с односторонними; опр. 4 — опр. 1 после замены $x=x_0+\Delta x$: $f(x)-f(x_0)\to0$.

Односторонняя непрерывность (сл. 8–10)

Определение 1. Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$ справа (правосторонне непрерывной), если существует конечный предел функции в этой точке справа и выполнено равенство $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)$.
Пример: $y=\sqrt x$, $x_0=0$: $\lim\limits_{x\to0+}\sqrt x=0=\sqrt0$ — непрерывна в $0$ справа (слева функция не определена).

Определение 2. Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ слева (левосторонне непрерывна), если существует конечный предел функции в этой точке слева и $\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)$.

Теорема (о связи двусторонней непрерывности и односторонней). Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке справа и слева:
$$\lim_{x\to x_0+}f(x)=\lim_{x\to x_0-}f(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$
Идея: следует из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (темы 14–16).

Примеры лектора (сл. 3)

1. $\lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0$ — $\sin x\in C(0)$.
2. $\lim\limits_{x\to0}x^2=0=0^2$ — $x^2\in C(0)$.
3. $\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}$ — $\operatorname{sgn}x\notin C(0)$: односторонние пределы $1$ и $-1$ различны (а в слайде значение в нуле не задано вовсе — тогда непрерывности нет тем более).

Алгоритм: проверить непрерывность в точке не из лекций

1. Определена ли $f(x_0)$? Нет — не непрерывна (дальше классифицировать разрыв, тема 25).
2. Посчитать $f(x_0-0)$ и $f(x_0+0)$ (для кусочной — каждый по своей формуле).
3. Оба конечны и равны $f(x_0)$ — непрерывна; иначе — разрыв.

Подбор параметра (частая задача): чтобы кусочная функция была непрерывна в точке склейки, приравнять левый предел, правый предел и значение.

Разобранные примеры

Типичные ошибки

• Писать в определении непрерывности проколотую окрестность или условие $0<|x-x_0|$: тогда значение $f(x_0)$ не участвует, и определение превращается в определение предела.
• Забывать требование «$f$ определена в $x_0$».
• Считать, что из существования предела следует непрерывность: нужно ещё равенство $f(x_0)$.
• В задаче 5 варианта: $\sqrt x$ при $x\to0$ — только правосторонний предел; для точки склейки слева берётся другая формула ($e^{1/x}$).