27. Непрерывность элементарных функций

л. 9

Прочитано

В файле РК этой темы нет. Она нужна как обоснование: в задаче 3 разрывы ищутся только там, где элементарная функция не определена, и в точках склейки.

Теоремы (формулировки как у Головиной)

Теорема 1 (сл. 38). Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Теорема 2 (сл. 44). Элементарные функции непрерывны в области определения.

Что отсутствует в PDF. Слайды 39 и 40 (список основных элементарных функций) в PDF пустые, в старой версии пустые слайды 41–43. Какие именно функции лектор называет основными, по PDF установить нельзя. Стандартный список не из лекций: постоянная, степенная $x^\alpha$ , показательная $a^x$ , логарифмическая $\log_ax$ , тригонометрические $\sin x$ , $\cos x$ , $\operatorname{tg}x$ , $\operatorname{ctg}x$ , обратные тригонометрические $\arcsin x$ , $\arccos x$ , $\operatorname{arctg}x$ , $\operatorname{arcctg}x$ .

Определение (слайд 45). Элементарная функция — функция, полученная из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и операции композиции (построения сложной функции).

Доказательства

Теорема 1 для

y=\sin x

— версия новой лекции (сл. 41–43)

Теорема доказывается для каждой из основных элементарных функций в отдельности; доказательство основано на определении непрерывности функции в точке. Докажем для $y=\sin x$ , $D_f=R$ .

Рассмотрим произвольную точку $x_0\in R$ . Дадим ей приращение $\Delta x$ : $x=x_0+\Delta x$ . Соответствующее приращение $\Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)$ . Для $y=\sin x$ :
$\Delta y=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0=2\sin\frac{x_0+\Delta x-x_0}2\cos\frac{x_0+\Delta x+x_0}2=2\sin\frac{\Delta x}2\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right).$
Вычислим $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y$ . Пользуясь таблицей эквивалентных б.м. и теоремой о произведении бесконечно малой функции на локально ограниченную, получаем ( $\sin\frac{\Delta x}2\sim\frac{\Delta x}2$ при $\Delta x\to0$ ):
$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}2\sin\frac{\Delta x}2\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right)=2\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}2\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right)=0.$
Последнее равенство показывает непрерывность $y=\sin x$ в точке $x_0$ (определение непрерывности через приращение: $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$ ). Так как $x_0$ — произвольная точка области определения, $y=\sin x$ непрерывна на всей области определения. Теорема доказана.

Пояснение не из лекций. Произведение $\Delta x\cdot\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right)$ есть произведение б.м. $\Delta x$ на ограниченную функцию ( $|\cos|\le1$ ), поэтому оно б.м. (тема 12, теорема 2). Замена $\sin\frac{\Delta x}2$ на $\frac{\Delta x}2$ — замена множителя на эквивалентную б.м. (тема 22).

Теорема 1 для

y=\sin x

— версия старой лекции (сл. 43–50)

Начало то же: $\Delta y=2\sin\dfrac{\Delta x}2\cos\left(x_0+\dfrac{\Delta x}2\right)$ . Дальше оценка.

Функция $2\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right)$ ограничена на $R$ :
$\left|2\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right)\right|\le2.$
Для функции $\sin\frac{\Delta x}2$ верно неравенство (утверждение 1 ниже)
$\left|\sin\frac{\Delta x}2\right|\le\left|\frac{\Delta x}2\right|.$
Таким образом,
$0\le|\Delta y|\le2\cdot\left|\frac{\Delta x}2\right|=|\Delta x|.$
По теореме о предельном переходе в неравенстве и пределе промежуточной функции ( $|\Delta x|\to0$ при $\Delta x\to0$ ): $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$ . По определению непрерывной функции $y=\sin x$ непрерывна в точке $x_0$ . Так как точка $x_0$ выбрана произвольно, $y=\sin x$ непрерывна на $R$ . «Аналогично доказывается непрерывность функции $y=\cos x$ » (сл. 47). Теорема доказана.

Утверждение 1. Для всех $x\in R$ справедливо неравенство $|\sin x|\le|x|$ .

Доказательство, 1 способ (сл. 48–50).

Непосредственной проверкой неравенство верно при $x=0$ .
При доказательстве первого замечательного предела (тема 19) показано: для $x\in\left(0;\frac\pi2\right)$ верно $\sin x<x$ . Это равносильно $|\sin x|\le|x|$ при $x\in\left(0;\frac\pi2\right)$ .
Для $x\in\left(-\frac\pi2;0\right)$ в слайде записано « $\sin x<x$ , а значит и $|\sin x|\le|x|$ ».
Остаётся промежуток $|x|\ge\frac\pi2$ : здесь $|\sin x|\le1<\frac\pi2\le|x|$ . Утверждение доказано.

Слайд 49 (старая лекция): для $x\in\left(-\frac\pi2;0\right)$ написано $\sin x<x$ . Это неверно: при $x<0$ имеем $\sin x>x$ (например, $\sin(-1)\approx-0{,}84>-1$ ). Верно (по нечётности синуса и случаю $x>0$ ): $|\sin x|=\sin(-x)<-x=|x|$ . Вывод слайда $|\sin x|\le|x|$ остаётся правильным.

Доказательство, 2 способ — графический (сл. 51). Слайд с графиком в PDF пустой. Содержание не из лекций: график $y=|\sin x|$ лежит не выше графика $y=|x|$ : прямая $y=x$ касается синусоиды в начале координат ( $\sin'0=1$ ), на $\left[0,\pi\right]$ синус вогнут и лежит под своей касательной, при $x\ge\frac\pi2$ значения $|\sin x|\le1<|x|$ . Графическое рассуждение — иллюстрация, не строгое доказательство.

Теорема 2 (сл. 45–46)

Элементарная функция получается из основных элементарных функций операциями сложения, вычитания, умножения, деления и композиции. Справедливость теоремы непосредственно следует из

предыдущей теоремы (теорема 1: основные элементарные функции непрерывны);
теоремы о непрерывности суммы, произведения, отношения непрерывных функций (тема 26, теорема 1);
теоремы о непрерывности сложной функции (тема 26, теорема 3).

Теорема доказана.

Пояснение не из лекций. «Непрерывна в области определения» означает: в каждой точке области определения, где функция определена в окрестности этой точки, непрерывна в обычном смысле; на концах промежутков области определения — односторонне. Частное непрерывных непрерывно в точках, где знаменатель $\ne0$ ; точки, где знаменатель равен нулю, области определения не принадлежат.

y=\cos x

и тангенс не из лекций

Для $\cos x$ (в лекции — «аналогично»):
$\Delta y=\cos(x_0+\Delta x)-\cos x_0=-2\sin\frac{\Delta x}2\sin\left(x_0+\frac{\Delta x}2\right),$
$|\Delta y|\le|\Delta x|$ , поэтому $\Delta y\to0$ при $\Delta x\to0$ .

$\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ непрерывен в точках, где $\cos x\ne0$ , как частное непрерывных (тема 26, теорема 1, п. 3); так же $\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ при $\sin x\ne0$ .

Непрерывность показательной, логарифмической, степенной и обратных тригонометрических функций в лекции не доказывается (сказано «для каждой в отдельности»). На РК используется как известный факт.

Рабочие формулы и признаки

Определение непрерывности через приращение: $f\in C(x_0)\iff\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$ , где $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ (тема 23).
$\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0=2\sin\dfrac{\Delta x}2\cos\left(x_0+\dfrac{\Delta x}2\right)$ .
$|\sin x|\le|x|$ для всех $x\in R$ ; $\sin x<x<\operatorname{tg}x$ при $x\in\left(0;\frac\pi2\right)$ .
Элементарная функция непрерывна во всех точках области определения; разрывы возможны только в точках, где она не определена (но определена в проколотой окрестности), и в точках склейки кусочно заданной функции.

Алгоритм: где искать точки разрыва

Разбить функцию на элементарные части (многочлены, дроби, корни, логарифмы, тригонометрические).
Каждая элементарная часть непрерывна там, где определена (теорема 2). Выписать «подозрительные» точки: нули знаменателей, точки, где аргумент логарифма равен нулю, точки $x$ , где не определена композиция (например, $\cos\frac1x$ при $x=0$ ).
Для кусочной функции добавить точки склейки (границы промежутков).
В каждой подозрительной точке вычислить односторонние пределы и значение функции и классифицировать (тема 25).

Разобранный пример

Задача. Для $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ указать, где функция заведомо непрерывна, и найти подозрительные точки.

Решение

$f$ — частное элементарных функций $\sin x$ и $x$ , непрерывных на $R$ (теорема 1). По теореме о частном $f$ непрерывна всюду, где $x\ne0$ . Единственная подозрительная точка $x_0=0$ , где $f$ не определена. Исследование: $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ конечен, значит $x_0=0$ — точка устранимого разрыва (тема 25).

Типичные ошибки

Считать, что теорема 2 говорит о непрерывности на $R$ : только в области определения. $\dfrac1x$ непрерывна на $(-\infty,0)$ и на $(0,+\infty)$ , но не в точке $0$ (там она не определена, понятие непрерывности не применимо, точка разрыва II рода).
Применять теорему 2 к кусочно заданной функции целиком: она элементарна лишь на каждом куске, в точках склейки проверка обязательна.
Писать «непрерывна на $R$ » для $\operatorname{tg}x$ или $\ln x$ (областями определения служат не $R$ ).
Принимать за «доказательство» непрерывности $\sin x$ только равенство $\lim\limits_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0$ без вывода: в доказательстве нужен приём с приращением и оценкой.
В версии с эквивалентностями забывать, что переход $\sin\frac{\Delta x}2\sim\frac{\Delta x}2$ делается при $\Delta x\to0$ , а не при $x\to\infty$ .

Прочитано