12. Бесконечно малые и бесконечно большие

Определения

Определение 1. Функция $y=f(x)$ называется бесконечно малой (б.м.ф.), или бесконечно малой величиной, при $x\to x_0$, если
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0.$$

Определение 2. Функция $y=f(x)$ называется бесконечно большой (б.б.ф.), или бесконечно большой величиной, при $x\to x_0$, если
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty.$$

Обозначения: $\alpha(x),\ \beta(x),\ \chi(x),\dots$

В качестве предельной точки можно рассматривать не только конечное число, но и бесконечность.

В кванторах (по определениям лекций 3–4 и 6):
$$\alpha(x)\ \text{— б.м.ф. при}\ x\to x_0\iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|\alpha(x)|<\varepsilon,$$
$$f(x)\ \text{— б.б.ф. при}\ x\to x_0\iff\forall M>0\ \exists\delta(M)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|f(x)|>M.$$

Примеры (сл. 3–5):

1. $y=x-2$ — б.м.ф. при $x\to2$: $\lim\limits_{x\to2}(x-2)=2-2=0$.
2. $y=\sin x$ — б.м.ф. при $x\to0$: $\lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0$.
3. $y=\sin\frac1x$ — б.м.ф. при $x\to\infty$: $\lim\limits_{x\to\infty}\sin\frac1x=\sin\frac1\infty=\sin0=0$.
4. $y=x$ — б.м.ф. при $x\to0$.
5. $y=\operatorname{tg}x$ — б.м.ф. при $x\to0$: $\operatorname{tg}0=0$.
6. $y=x$ — б.б.ф. при $x\to\infty$.
7. $y=e^x$ — б.б.ф. при $x\to+\infty$: $e^{+\infty}=+\infty$.
8. $y=e^x$ — б.м.ф. при $x\to-\infty$: $e^{-\infty}=\frac1{e^{+\infty}}=\frac1{+\infty}=0$.

Одна и та же функция может быть б.м., б.б. или ни той ни другой — в зависимости от того, куда стремится $x$ (примеры 4, 6; 7, 8).

Б.б.ф. и неограниченность не из лекций: б.б.ф. при $x\to x_0$ не является локально ограниченной, но не всякая неограниченная функция — б.б. Пример: $x\sin x$ при $x\to\infty$ не ограничена, но не б.б. (в точках $x=\pi n$ она равна $0$).

Теоремы (свойства б.м.ф.)

Теорема 1 (о сумме конечного числа б.м.ф.). Сумма конечного числа бесконечно малых функций при $x\to x_0$ есть бесконечно малая функция.

Теорема 2 (о произведении б.м.ф. на локально ограниченную). Произведение бесконечно малой функции на локально ограниченную есть величина бесконечно малая.

Следствие 1. Так как любая б.м.ф. при $x\to x_0$ является локально ограниченной (теорема 2 л. 3–4: функция с конечным пределом локально ограничена), то произведение двух б.м.ф. при $x\to x_0$ есть б.м.ф. (по теореме 2).

Следствие 2. Произведение б.м.ф. при $x\to x_0$ на число (константу) есть б.м.ф. при $x\to x_0$.

Теорема 3 (связь функции, её предела и б.м.ф.). Функция имеет конечный предел при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда её можно представить в виде суммы этого конечного предела и некоторой б.м.ф. при $x\to x_0$:
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff f(x)=a+\alpha(x),\quad\alpha(x)\ \text{— б.м.ф. при}\ x\to x_0.$$

Свойства б.б.ф. не из лекций, без доказательства; нужны для практики:

• б.б.ф. + ограниченная функция — б.б.ф.;
• сумма б.б.ф. одного знака ($+\infty$ и $+\infty$) — б.б.ф. того же знака;
• б.б.ф. × функция, отделённая от нуля ($|g(x)|\ge c>0$ около $x_0$), — б.б.ф.; в частности, б.б. × б.б. — б.б.;
• связь б.м. и б.б. ($\frac1\alpha$ — б.б.) — тема 18 (л. 6), там с доказательством.

Доказательства

Рабочие формулы

• б.м. + б.м. = б.м. (конечное число слагаемых).
• б.м. × локально ограниченная = б.м.; б.м. × б.м. = б.м.; б.м. × const = б.м.
• $\lim f=a\iff f=a+\alpha$, $\alpha\to0$.
• Типовые ограниченные множители: $|\sin u|\le1$, $|\cos u|\le1$, $|\operatorname{arctg}u|<\frac\pi2$, $|(-1)^n|=1$, $0\le\{x\}<1$ (дробная часть) — для любого аргумента $u$.
• Типовые б.м.: $\frac1{x^k}$ ($k>0$) при $x\to\infty$; $x^k$ ($k>0$) при $x\to0$; $e^x$ при $x\to-\infty$; $e^{-x}$ при $x\to+\infty$.
• Внимание: б.м. × неограниченная — неопределённость $0\cdot\infty$ (не обязательно $0$).

Алгоритм: предел, в котором один множитель не имеет предела

Признак: в выражении стоят $\sin(\dots)$, $\cos(\dots)$, $\operatorname{arctg}(\dots)$, $(-1)^n$ с аргументом, который не имеет предела (например, $\sin x$ при $x\to\infty$, $\cos\frac1x$ при $x\to0$).

1. Выделить множитель $\beta(x)$, не имеющий предела, и показать его ограниченность в проколотой окрестности: $|\beta(x)|\le M$.
2. Показать, что второй множитель $\alpha(x)$ — б.м.ф. (подстановкой, арифметикой пределов).
3. По теореме 2 произведение — б.м.ф., предел равен $0$.
4. Если ограниченный множитель стоит в сумме, а не в произведении — сначала поделить/вынести так, чтобы он оказался множителем при б.м.

Разобранные примеры

Типичные ошибки

• Применять теорему 2, когда второй множитель не ограничен ($0\cdot\infty$ — неопределённость, пример 5).
• Путать $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}x=0$ и $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$.
• Пытаться найти $\lim\sin x$ при $x\to\infty$ и подставлять «$\sin\infty$»: такого предела нет, нужна ограниченность.
• Говорить «функция бесконечно малая» без указания, при каком стремлении $x$.
• Считать любую неограниченную функцию бесконечно большой ($x\sin x$ при $x\to\infty$).
• Переписывать со слайдов определения с непроколотой окрестностью $S_\delta(x_0)$.