18. Связь б.м. и б.б.

л. 6 · вопросы РК: C5

Прочитано

Теорема

Теорема. Если функция $y=\alpha(x)$ — бесконечно малая функция при $x\to x_0$ , где $\alpha(x)\ne0$ для $\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ , то функция $\beta(x)=\dfrac1{\alpha(x)}$ — бесконечно большая функция при $x\to x_0$ .

Обратная теорема не из лекций: если $f(x)$ — б.б.ф. при $x\to x_0$ , то $\dfrac1{f(x)}$ — б.м.ф. при $x\to x_0$ .

Доказательство (сл. 35–38)

Распишем определение б.м.ф. на языке $\delta,\varepsilon$ :
$\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0\overset{def}{\iff}\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow|\alpha(x)|<\varepsilon.$
Рассмотрим неравенство $|\alpha(x)|<\varepsilon$ , верное при $\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ . Так как $\alpha(x)\ne0$ для $\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ , можно рассматривать обратное неравенство:
$\frac1{|\alpha(x)|}>\frac1\varepsilon,\quad\forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0).$
Обозначим $M=\frac1\varepsilon$ , где $\varepsilon$ — достаточно малое положительное число, $M$ — довольно большое положительное число. С учётом обозначений:
$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x\in\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)\Rightarrow\left|\frac1{\alpha(x)}\right|>M.$
Это означает (по определению бесконечного предела и б.б.ф.), что $\lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=\infty$ . Теорема доказана.

Уточнение формы не из лекций: в определении б.б.ф. квантор стоит по $M$ : « $\forall M>0\ \exists\delta(M)$ ». Переход: для произвольного $M>0$ взять $\varepsilon=\frac1M$ и $\delta(M)=\delta\left(\frac1M\right)$ из определения б.м.ф.

Обратная теорема (идея): $|f(x)|>M=\frac1\varepsilon$ в $\overset{\circ}{S}_\delta(x_0)$ $\Rightarrow$ $\left|\frac1{f(x)}\right|<\varepsilon$ .

Рабочие формулы

$\dfrac{c}{\text{б.м.}}=\text{б.б.}$ при $c\ne0$ (если б.м. $\ne0$ около $x_0$ ). Символически: $\frac c0=\infty$ .
$\dfrac{c}{\text{б.б.}}=\text{б.м.}$ Символически: $\frac c\infty=0$ .
Знак: если б.м. $\alpha(x)>0$ около $x_0$ , то $\frac1\alpha\to+\infty$ (символически $\frac1{0+}=+\infty$ ); если $\alpha<0$ — $-\infty$ .
Условие $\alpha(x)\ne0$ существенно: $\alpha(x)=x\sin\frac1x$ — б.м. при $x\to0$ , но обращается в $0$ в точках $\frac1{\pi n}$ сколь угодно близко к $0$ , и $\frac1\alpha$ там не определена.

Примеры

Пример 1. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x+2}{x-1}$ .

Решение

Числитель $\to3\ne0$ , знаменатель $x-1$ — б.м., $\ne0$ при $x\ne1$ . По теореме $\frac1{x-1}$ — б.б., а $(x+2)\cdot\frac1{x-1}$ — б.б. (б.б. × функция, отделённая от нуля). Ответ: $\infty$ . Односторонние: $x\to1+$ : $+\infty$ ; $x\to1-$ : $-\infty$ .

Пример 2. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5}{e^x+x}$ .

Решение

$e^x+x$ — б.б. при $x\to+\infty$ (сумма двух $+\infty$ ). По обратной теореме $\frac1{e^x+x}$ — б.м., умножение на константу $5$ — б.м. Ответ: $0$ .

Типичные ошибки

Писать $\frac1{\text{б.м.}}=\infty$ , не проверив, что б.м. не обращается в $0$ около $x_0$ .
Путать $\infty$ и $+\infty$ : теорема даёт $\infty$ (по модулю); знак — отдельно, по знаку $\alpha$ .
Применять к $\frac00$ : теорема только для $\frac{c}{\text{б.м.}}$ с $c\ne0$ .

Прочитано