8b. Гиперболические функции

В файле РК этой темы нет. В лекции — только определения и три формулы без доказательств; все доказательства ниже не из лекций.

Определения

Гиперболический синус:
$$\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2.$$

Гиперболический косинус:
$$\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2.$$

Гиперболический тангенс:
$$\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$$

Гиперболический котангенс:
$$\operatorname{cth}x=\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}.$$

Теоремы (основные соотношения, сл. 14)

$$\operatorname{sh}(2x)=2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x,\qquad\operatorname{ch}(2x)=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x.$$
Основное гиперболическое тождество:
$$\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1.$$

Доказательства не из лекций

Дополнительные свойства не из лекций

• Область определения: $\operatorname{sh}x$, $\operatorname{ch}x$, $\operatorname{th}x$ — на $R$; $\operatorname{cth}x$ — при $x\ne0$ (так как $\operatorname{sh}x=0$ только при $x=0$: $e^x=e^{-x}\iff x=0$).
• Чётность: $\operatorname{sh}$ нечётна, $\operatorname{ch}$ чётна, $\operatorname{th}$, $\operatorname{cth}$ нечётны.
• $\operatorname{ch}x\ge1$, так как $\operatorname{ch}^2x=1+\operatorname{sh}^2x\ge1$ и $\operatorname{ch}x>0$; $|\operatorname{th}x|<1$, так как $\operatorname{th}^2x=1-\frac1{\operatorname{ch}^2x}$.
• Связь с экспонентой: $\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x=e^x$, $\ \operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x=e^{-x}$.
• Другие формы: $\operatorname{ch}2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x$.
• Название: точки $(\operatorname{ch}t,\operatorname{sh}t)$ лежат на гиперболе $x^2-y^2=1$ (тождество выше), как точки $(\cos t,\sin t)$ на окружности.
• Непрерывность: $\operatorname{sh}$, $\operatorname{ch}$ непрерывны на $R$ как комбинации непрерывной $e^x$ (темы 26, 27).

Рабочие формулы

• $\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$, $\ \operatorname{ch}x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$, $\ \operatorname{th}x=\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}$, $\ \operatorname{cth}x=\dfrac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x}$.
• $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$.
• $\operatorname{sh}2x=2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x$, $\ \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x$.
• $\operatorname{sh}x\sim x$ при $x\to0$ не из лекций, вывод в примере.

Алгоритм типовых задач

1. Если в выражении есть $\operatorname{sh}$, $\operatorname{ch}$ — подставить определения через $e^x$.
2. Привести к $e^x$ и применять свойства показательной функции или таблицу эквивалентных б.м. (тема 22).
3. Для упрощения использовать $\operatorname{ch}^2-\operatorname{sh}^2=1$ и формулы двойного аргумента.

Разобранный пример

Типичные ошибки

• Писать $\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=1$ (по аналогии с тригонометрией). Верно $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$; сумма $\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=\operatorname{ch}2x$.
• Путать знаки в определениях: в $\operatorname{sh}$ — разность, в $\operatorname{ch}$ — сумма.
• Считать $\operatorname{cth}x$ определённым при $x=0$.
• Переносить тригонометрические формулы без проверки: например, $\operatorname{ch}2x\ne1-2\operatorname{sh}^2x$ (верно $1+2\operatorname{sh}^2x$).