24. Непрерывность на промежутках

РК: A25 (на интервале), A26 (на отрезке).

Определения (по слайдам)

Определение 1. Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a,b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Обозначение: $f(x)\in C\bigl((a,b)\bigr)$.

Определение 2. Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a,b]$, если:

• $y=f(x)$ непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$;
• $y=f(x)$ непрерывна в точке $a$ справа;
• $y=f(x)$ непрерывна в точке $b$ слева.

Обозначение: $f(x)\in C\bigl([a,b]\bigr)$.

Определение 3. Функция непрерывна на полуинтервале $(a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и в точке $b$ слева. Обозначение: $f(x)\in C\bigl((a,b]\bigr)$.

Определение 4. Функция непрерывна на полуинтервале $[a,b)$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и в точке $a$ справа. Обозначение: $f(x)\in C\bigl([a,b)\bigr)$.

Сводка:

Что важно не из лекций

• На концах отрезка требуется односторонняя непрерывность — «изнутри» отрезка. Что функция делает вне $[a,b]$, не важно: $\sqrt x\in C([0,1])$, хотя при $x<0$ не определена.
• Непрерывность на отрезке — условие теорем Вейерштрасса и Больцано–Коши (тема 28, после РК). Без непрерывности на концах они перестают работать: $f(x)=\frac1x$ на $(0,1]$ непрерывна, но не ограничена.

Пример

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ на $[-1,1]$.

Типичные ошибки

• Требовать на концах отрезка двустороннюю непрерывность.
• Писать «интеграла» вместо «интервала» (опечатка слайда).
• Путать $C((a,b])$ и $C([a,b))$: непрерывность нужна на том конце, который входит в промежуток.